如图$1$,抛物线$y=ax^{2}+bx+3\left(a\neq 0\right)$与$x$轴交于$A\left(-1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$两点,与$y$轴交于点$C$.
$(1)$求抛物线的解析式；
$(2)$点$P$在抛物线上,点$Q$在$x$轴上,以$B$,$C$,$P$,$Q$为顶点的四边形为平行四边形,求点$P$的坐标；
$(3)$如图$2$,抛物线顶点为$D$,对称轴与$x$轴交于点$E$,过点$K\left(1,3\right)$的直线（直线$KD$除外）与抛物线交于$G$,$H$两点,直线$DG$,$DH$分别交$x$轴于点$M$,$N$.试探究$EM\cdot EN$是否为定值,若是,求出该定值；若不是,说明理由.