（1）由题意得，抛物线的表达式为：$y=a\left(x+1\right)\left(x-3\right)=a(x^{2}-2x-3)$，

即$-3a=3$，

则抛物线的表达式为：$y=-x^{2}+2x+3$；

$(2)$设点$P$的坐标为：$(m$，$-m^{2}+2m+3)$，点$Q\left(x,0\right)$，

当$BC$或$BP$为对角线时，由中点坐标公式得：$3=-m^{2}+2m+3$，

解得：$m=0(舍去)$或$2$，

则点$P\left(2,3\right)$；

当$BQ$为对角线时，同理可得：$0=-m^{2}+2m+3+3$，

解得：$m=1\pm \sqrt{7}$，

则点$P$的坐标为：$\left(2,3\right)$，$(1+\sqrt{7}$，$-3)$或$(1-\sqrt{7}$，$-3)$；

$(3)$是定值，理由：

直线$GH$过点$\left(1,3\right)$，故设直线$GH$的表达式为：$y=k\left(x-1\right)+3$，

设点$G$、$H$的坐标分别为：$(m$，$-m^{2}+2m+3)$，点$N(n$，$-n^{2}+2n+3)$，

联立$y=k\left(x-1\right)+3$和$y=-x^{2}+2x+3$并整理得：$x^{2}+\left(k-2\right)x-k=0$，

则$m+n=2-k$，$mn=-k$，

由点$G$、$D$的坐标得，直线$GD$的表达式为：$y=-\left(m-1\right)\left(x-1\right)+4$，

令$y=0$，则$x=1+\frac{4}{m-1}$，即点$M(1+\frac{4}{m-1}$，$0)$，

则$EM=1-1-\frac{4}{m-1}=-\frac{4}{m-1}$，

同理可得，$EN=\frac{4}{n-1}$，

则$EM\cdot EN=-\frac{4}{m-1}\times \frac{4}{n-1}=-\frac{16}{(m-1)(n-1)}=\frac{-16}{mn-(m+n)+1}=\frac{-16}{-k+k-2+1}=16$.

（1）由题意得，抛物线的表达式为：$y=a\left(x+1\right)\left(x-3\right)=a(x^{2}-2x-3)$，

即$-3a=3$，

则抛物线的表达式为：$y=-x^{2}+2x+3$；

$(2)$设点$P$的坐标为：$(m$，$-m^{2}+2m+3)$，点$Q\left(x,0\right)$，

当$BC$或$BP$为对角线时，由中点坐标公式得：$3=-m^{2}+2m+3$，

解得：$m=0(舍去)$或$2$，

则点$P\left(2,3\right)$；

当$BQ$为对角线时，同理可得：$0=-m^{2}+2m+3+3$，

解得：$m=1\pm \sqrt{7}$，

则点$P$的坐标为：$\left(2,3\right)$，$(1+\sqrt{7}$，$-3)$或$(1-\sqrt{7}$，$-3)$；

$(3)$是定值，理由：

直线$GH$过点$\left(1,3\right)$，故设直线$GH$的表达式为：$y=k\left(x-1\right)+3$，

设点$G$、$H$的坐标分别为：$(m$，$-m^{2}+2m+3)$，点$N(n$，$-n^{2}+2n+3)$，

联立$y=k\left(x-1\right)+3$和$y=-x^{2}+2x+3$并整理得：$x^{2}+\left(k-2\right)x-k=0$，

则$m+n=2-k$，$mn=-k$，

由点$G$、$D$的坐标得，直线$GD$的表达式为：$y=-\left(m-1\right)\left(x-1\right)+4$，

令$y=0$，则$x=1+\frac{4}{m-1}$，即点$M(1+\frac{4}{m-1}$，$0)$，

则$EM=1-1-\frac{4}{m-1}=-\frac{4}{m-1}$，

同理可得，$EN=\frac{4}{n-1}$，

则$EM\cdot EN=-\frac{4}{m-1}\times \frac{4}{n-1}=-\frac{16}{(m-1)(n-1)}=\frac{-16}{mn-(m+n)+1}=\frac{-16}{-k+k-2+1}=16$.