D

①抛物线开口方向向上，则$a \gt 0$.
抛物线对称轴位于$y$轴右侧，则$a$、$b$异号，即$ab \lt 0$.
抛物线与$y$轴交于$y$轴负半轴，则$c \lt 0$，
所以$abc \lt 0$.
故①错误；
②$\because$抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，
$\therefore b=-2a$，即$2a+b=0$，
故②正确；
③$\because$抛物线对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$函数的最小值为：$a+b+c$，
$\therefore m$为任意实数时，$a+b\leqslant m\left(am+b\right)$；即$a+b+c \lt am^{2}+bm+c$，
故③正确；
④$\because$抛物线与$x$轴的一个交点在$\left(3,0\right)$的左侧，而对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$抛物线与$x$轴的另一个交点在$\left(-1,0\right)$的右侧，
$\therefore$当$x=-1$时，$y \gt 0$，
$\therefore a-b+c \gt 0$，
故④正确；
⑤$\because {ax}_{1}^{2}+bx_{1}={ax}_{2}^{2}+bx_{2}$，
$\therefore {ax}_{1}^{2}+bx_{1}-{ax}_{2}^{2}-bx_{2}=0$，
$\therefore a(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})+b(x_{1}-x_{2})=0$，
$\therefore (x_{1}-x_{2})[a(x_{1}+x_{2})+b]=0$，
而$x_{1}\neq x_{2}$，
$\therefore a(x_{1}+x_{2})+b=0$，即$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，
$\because b=-2a$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=2$，
故⑤正确.
综上所述，正确的有②③④⑤.
故选：$D$.