$.$解：$(1)$由题得购进$B$型手机$(100-x)$部．

函数表达式为：$y=100x+150(100-x).$

$=-50x+15000.$

$(2)$由题意得，$100-x\leqslant 2x$，

解得$x\geqslant 33\dfrac{1}{3}$，

$∵y=-50x+15000$，$k=-50 < 0$．

$∴y$随$x$的增大而减小，

$∵x$为正整数，

$∴$当$x=34$时，$y$取最大值，则$100-x=66$．

答：商店购进$34$部$A$型手机和$66$部$B$型手机的销售利润最大．