解：$(1)∵OE$平分$∠AOC$，$OF$平分$∠BOD$，

$∴∠COE= \dfrac{1}{2}∠AOC$，$∠DOF= \dfrac{1}{2}∠BOD$，

$∵∠COD=90^{\circ}$，

$∴∠COA+∠DOB=180^{\circ}-∠COD=90^{\circ}$，

$∴∠COE+∠DOE= \dfrac{1}{2}\left(∠COA+∠DOB\right)=45^{\circ}$，

$∴∠EOF=∠COE+∠DOF+∠COD=135^{\circ}$．

$(2)∵OE$平分$∠AOD$，$OF$平分$∠BOC$，

$∴∠AOE= \dfrac{1}{2}∠AOD$，$∠BOF= \dfrac{1}{2}∠BOC$，

$∴∠EOF=∠AOF-∠AOE$

$=180^{\circ}-∠BOF- \dfrac{1}{2}∠AOD$，

$=180^{\circ}- \dfrac{1}{2}∠BOC- \dfrac{1}{2}∠AOD$，

$=180^{\circ}- \dfrac{1}{2}\left(∠BOC+∠AOD\right)$，

$=180^{\circ}- \dfrac{1}{2}×\left(180^{\circ}-∠COD\right)$

$=90^{\circ}- \dfrac{1}{2}∠COD$

$=45^{\circ}$．