$(1)$证明：连结$BD$，

$∵$在$\triangle ABC$中，$∠ABC=90^{\circ}AB=BC$，$D$是$AC$的中点，
$∴∠A=∠C=∠DEC=45^{\circ}$，$AD=BD=DC$，$BD⊥AC$，
$∴∠BDC=90^{\circ}$，
在$\triangle AED$和$\triangle BFD$中，
$\begin{cases}AD=BD \\ ∠A=∠DBF \\ AE=BF\end{cases}$，
$∴\triangle AED$≌$\triangle BFD(SAS)$，
$∴DE=DF$；
$(2)∵\triangle AED$≌$\triangle BFD$，
$∴DE=DF$，$∠ADE=∠BDF$，
$∵BD⊥AC$，
$∴∠BDA=90^{\circ}$，
$∴∠EDF=∠EDB+∠BDF=∠EDB+∠ADE=∠BDA=90^{\circ}$，
$∴∠DEF=∠DFE=45^{\circ}$．