解：$(1)$令$x=0$，$y=3$，

$∴B(0,3)$，

令$y=0$，$x=-4$，

$∴A(-4,0)$，

由勾股定理得到$AB=5$，

由折叠可得$OC=CD$，$OB=BD$，

$∴AD=AB-BD=5-3=2$，

$∴$设$OC=x$，则$AC=4-x$，

在直角$\triangle ADC$中，由勾股定理得到$AD^{2}+DC^{2}=AC^{2}$，

$∴x^{2}+2^{2}=(4-x)^{2}$

$∴x=$$\dfrac{3}{2}$，

$∴OC=$$\dfrac{3}{2}$；

$(2)$如图$\triangle AOE$是等腰三角形，理由如下：

理由：延长$AE$交$y$轴于点$F$．

$∵AE⊥BC$，

$∴∠AEB=∠FEB=90^{\circ}$，

$∵$将$\triangle BOC$沿$BC$翻折，

$∴∠ABE=∠FBE$，

在$\triangle ABE$与$\triangle FBE$中，

$\begin{cases}∠ABE=∠FBE \\ BE=BE \\ ∠AEB=∠FEB\end{cases}$，

$∴\triangle ABE$≌$\triangle FBE$，

$∴AE=FE$，

$∴$在$Rt\triangle AOF$中，$AE=FE=OE$，

$∴\triangle AOE$是等腰三角形$.$