如图，

$(1)$在网格中画出$\triangle ABC$关于$y$轴对称的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；

$(2)$写出$\triangle ABC$关于$x$轴对称的$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$的各顶点坐标；

$(3)$在$y$轴上确定一点$P$，使$\triangle PAB$周长最短$.($只需作图，保留作图痕迹$)$