在$\triangle ABC$中，$BC=AC$，$∠BCA=90^{\circ}$，$P$为直线$AC$上一点，过点$A$作$AD⊥BP$于点$D$，交直线$BC$于点$Q$．

$(1)$如图$1$，当$P$在线段$AC$上时，求证：$BP=AQ$；
$(2)$如图$2$，当$P$在线段$CA$的延长线上时，$(1)$中的结论是否成立？______$($填“成立”或“不成立”$)$
$(3)$在$(2)$的条件下，当$∠DBA=$______度时，存在$AQ=2BD$，说明理由．