根据题意得，点$M$所表示的数为$-10$，点$N$所表示的数为$10$，

$(1)$此时点$P$移动到原点$O$，$t=10$，表示$-2$的点与表示$2$的点重合，

故答案为：$10$，$2$；

$(2)$①此时点$P$移动到表示$1$的点，表示$5$的点与点$P$的距离为$5-1=4$，

则点$C$表示的数为：$1-4=-3$；

②此时$A$、$B$两点的中点为点$P$，则$A$、$B$两点与点$P$的距离均为$4.5$，

则点$A$表示的数为：$1-4.5=-3.5$，点$B$表示的数为：$1+4.5=5.5$；

$(3)$①设点$P$所表示的数为$x$，

若点$P$在原点$O$左边，则$2\left[x-\left(-10\right)\right]+4=20$，解得$x=-2$；

若点$P$在原点$O$右边，则$2\left(10-x\right)+4=20$，解得$x=2$；

因此，此时点$P$所表示的数为$-2$或$2$；

②当点$P$在原点$O$时，折叠纸面，$M$、$N$两点之间的距离为$0$，

则从原点开始，沿数轴每向右移动$1$个单位长度后再折叠纸面，点$M$、$N$之间的距离都会增大2个单位长度.

故答案为：增大，2.

根据题意得，点$M$所表示的数为$-10$，点$N$所表示的数为$10$，

$(1)$此时点$P$移动到原点$O$，$t=10$，表示$-2$的点与表示$2$的点重合，

故答案为：$10$，$2$；

$(2)$①此时点$P$移动到表示$1$的点，表示$5$的点与点$P$的距离为$5-1=4$，

则点$C$表示的数为：$1-4=-3$；

②此时$A$、$B$两点的中点为点$P$，则$A$、$B$两点与点$P$的距离均为$4.5$，

则点$A$表示的数为：$1-4.5=-3.5$，点$B$表示的数为：$1+4.5=5.5$；

$(3)$①设点$P$所表示的数为$x$，

若点$P$在原点$O$左边，则$2\left[x-\left(-10\right)\right]+4=20$，解得$x=-2$；

若点$P$在原点$O$右边，则$2\left(10-x\right)+4=20$，解得$x=2$；

因此，此时点$P$所表示的数为$-2$或$2$；

②当点$P$在原点$O$时，折叠纸面，$M$、$N$两点之间的距离为$0$，

则从原点开始，沿数轴每向右移动$1$个单位长度后再折叠纸面，点$M$、$N$之间的距离都会增大2个单位长度.

故答案为：增大，2.