（1）数轴上表示$4$和$1$的两点之间的距离是$4-1=3$；数轴上表示$-3$和$2$两点之间的距离是$2-\left(-3\right)=5$；一般地，数轴上表示数$m$和数$n$的两点之间的距离可以表示为$|m-n|$.那么，数轴上表示数$x$与$5$两点之间的距离可以表示为$|x-5|$，表示数$y$与$-1$两点之间的距离可以表示为$|y+1|$.
故答案为：$3$，$5$，$|x-5|$，$|y+1|$；
$(2)$如果表示数$a$和$-2$的两点之间的距离是$3$，那么$|a-\left(-2\right)|=3$
$\therefore |a+2|=3$
$\therefore a+2=3$或$a+2=-3$
解得$a=1$或$a=-5$；
$\because |a+4|+|a-2|$表示数$a$与$-4$的距离与$a$和$2$的距离之和，
若数轴上表示数$a$的点位于$-4$与$2$之间，则$|a+4|+|a-2|$的值等于$2$和$-4$之间的距离，等于$6$.
故答案为：$1$或$-5$；
$(3)|a+5|+|a-1|+|a-4|$表示一点到$-5$，$1$，$4$三点的距离的和，
$\therefore$当$a=1$时，该式的值最小，最小值为$6+0+3=9$.
$\therefore$当$a=1$时，$|a+5|+|a-1|+|a-4|$的值最小，最小值是$9$.
故答案为：$1$，$9$.

（1）数轴上表示$4$和$1$的两点之间的距离是$4-1=3$；数轴上表示$-3$和$2$两点之间的距离是$2-\left(-3\right)=5$；一般地，数轴上表示数$m$和数$n$的两点之间的距离可以表示为$|m-n|$.那么，数轴上表示数$x$与$5$两点之间的距离可以表示为$|x-5|$，表示数$y$与$-1$两点之间的距离可以表示为$|y+1|$.
故答案为：$3$，$5$，$|x-5|$，$|y+1|$；
$(2)$如果表示数$a$和$-2$的两点之间的距离是$3$，那么$|a-\left(-2\right)|=3$
$\therefore |a+2|=3$
$\therefore a+2=3$或$a+2=-3$
解得$a=1$或$a=-5$；
$\because |a+4|+|a-2|$表示数$a$与$-4$的距离与$a$和$2$的距离之和，
若数轴上表示数$a$的点位于$-4$与$2$之间，则$|a+4|+|a-2|$的值等于$2$和$-4$之间的距离，等于$6$.
故答案为：$1$或$-5$；
$(3)|a+5|+|a-1|+|a-4|$表示一点到$-5$，$1$，$4$三点的距离的和，
$\therefore$当$a=1$时，该式的值最小，最小值为$6+0+3=9$.
$\therefore$当$a=1$时，$|a+5|+|a-1|+|a-4|$的值最小，最小值是$9$.
故答案为：$1$，$9$.