D

由数轴可得：$b \lt -1 \lt 0 \lt a \lt 1$，
$A$、$a+b \lt 0$正确，故不符合题意；
$B$、$|a| \lt |b|$正确，故不符合题意；
$C$、$ab \lt 0$正确，故不符合题意；
$D$、$a^{3} \gt b^{3}$错误，故符合题意；
故选：$D$.

根据数轴可得$b \lt -1 \lt 0 \lt a \lt 1$，然后再分析四个选项即可.

【点评】

此题主要考查了实数与数轴，关键是掌握两数相乘，同号得正，异号得负；绝对值越大，离原点越远.