D

当$m$、$n$同号时，有两种情况：
①$m \gt 0$，$n \gt 0$，此时$|m+n|=m+n$，$|m|+|n|=m+n$，故$|m+n|=|m|+|n|$成立；
②$m \lt 0$，$n \lt 0$，此时$|m+n|=-m-n$，$|m|+|n|=-m-n$，故$|m+n|=|m|+|n|$成立；
$\therefore$当$m$、$n$同号时，$|m+n|=|m|+|n|$成立；
当$m$、$n$异号时，则：$|m+n| \lt |m|+|n|$，故$|m+n|=|m|+|n|$不成立；
当$m$、$n$中至少一个为零时，$|m+n|=|m|+|n|$成立.
综上，如果$|m+n|=|m|+|n|$，则$m$、$n$同号或$m$、$n$中至少一个为零.
故选：$D$.