B

由数轴可得：$a \lt 0 \lt b$，$|a| \gt |b|$，
$A$、$a+b \lt 0$，故选项错误；
$B$、$|b| \lt |a|$，故选项正确；
$C$、$ab \lt 0$，故选项错误；
$D$、$a \lt b$，故选项错误.
故选：$B$.