$\left(1\right)\because a$、$b$互为相反数，$c$、$d$互为倒数，$m$的绝对值是$5$，
$\therefore a+b=0$，$cd=1$，$m=\pm 5$，
故答案为：$0$；$1$；$\pm 5$；
$(2)$当$m=5$时，
$2021\left(a+b\right)-3cd+2m$
$=2021\times 0-3\times 1+2\times 5$
$=0-3+10$
$=7$；
当$m=-5$时，
$2021\left(a+b\right)-3cd+2m$
$=2021\times 0-3\times 1+2\times \left(-5\right)$
$=0-3-10$
$=-13$；
故$2021\left(a+b\right)-3cd+2m=7$或$-13$.

$\left(1\right)\because a$、$b$互为相反数，$c$、$d$互为倒数，$m$的绝对值是$5$，
$\therefore a+b=0$，$cd=1$，$m=\pm 5$，
故答案为：$0$；$1$；$\pm 5$；
$(2)$当$m=5$时，
$2021\left(a+b\right)-3cd+2m$
$=2021\times 0-3\times 1+2\times 5$
$=0-3+10$
$=7$；
当$m=-5$时，
$2021\left(a+b\right)-3cd+2m$
$=2021\times 0-3\times 1+2\times \left(-5\right)$
$=0-3-10$
$=-13$；
故$2021\left(a+b\right)-3cd+2m=7$或$-13$.