A

$\because |x|=4$，$|y|=3$，$x+y \gt 0$，
$\therefore x=\pm 4$，$y=\pm 3$，
$\therefore x=4$，$y=3$或$x=4$，$y=-3$，
当$x=4$，$y=3$时，
$x-y=4-3=1$，
当$x=4$，$y=-3$时，
$x-y=4-\left(-3\right)=4+3=7$.
故选：$A$.