A

根据题意可知，$x=4$或$x=-4$；$y=5$或$y=-5$，
$\because xy \lt 0$，
$\therefore x=4$，$y=-5$或$x=-4$，$y=5$，
当$x=4$，$y=-5$时，
$\therefore x+y=4+\left(-5\right)=-1$，
当$x=-4$，$y=5$时，$x+y=-4+5=1$.
故选：$A$.