$\because |a|=2$，$|b|=3$，$|c|=4$，
$\therefore a=\pm 2$，$b=\pm 3$，$c=\pm 4$，
又$\because a \gt b \gt c$，
$\therefore a=2$，$b=-3$，$c=-4$或$a=-2$，$b=-3$，$c=-4$，
$\therefore a+b+c=2+\left(-3\right)+\left(-4\right)=-5$或$a+b+c=-2+\left(-3\right)+\left(-4\right)=-9$.
故答案为：$-5$或$-9$.

$\because |a|=2$，$|b|=3$，$|c|=4$，
$\therefore a=\pm 2$，$b=\pm 3$，$c=\pm 4$，
又$\because a \gt b \gt c$，
$\therefore a=2$，$b=-3$，$c=-4$或$a=-2$，$b=-3$，$c=-4$，
$\therefore a+b+c=2+\left(-3\right)+\left(-4\right)=-5$或$a+b+c=-2+\left(-3\right)+\left(-4\right)=-9$.
故答案为：$-5$或$-9$.