$\left(1\right)\because$表示数$a$的点、数$b$的点与原点的距离相等，$a \gt 0$，$b \lt 0$，$|a|=|b|$，
$\therefore a+b=0$，
$\because a \gt c$，
$\therefore a-c \gt 0$，
$\because b \lt c$，
$\therefore b-c \lt 0$，
故答案为：$=$；$\gt$；$\lt$；
$(2)$原式$=0+a-c+b+c-b$
$=a$.

$(1)$根据题意得：$a$，$b$互为相反数，从而得到$a+b=0$，根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大即可得出答案；
$(2)$根据绝对值的性质化简即可.

【点评】

本题考查了数轴，有理数的比较大小，绝对值，整式的加减，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，$0$的绝对值是$0$是解题的关键.

$\left(1\right)\because$表示数$a$的点、数$b$的点与原点的距离相等，$a \gt 0$，$b \lt 0$，$|a|=|b|$，
$\therefore a+b=0$，
$\because a \gt c$，
$\therefore a-c \gt 0$，
$\because b \lt c$，
$\therefore b-c \lt 0$，
故答案为：$=$；$\gt$；$\lt$；
$(2)$原式$=0+a-c+b+c-b$
$=a$.

$(1)$根据题意得：$a$，$b$互为相反数，从而得到$a+b=0$，根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大即可得出答案；
$(2)$根据绝对值的性质化简即可.

【点评】

本题考查了数轴，有理数的比较大小，绝对值，整式的加减，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，$0$的绝对值是$0$是解题的关键.