题霸题霸学习平台
登录开始使用
← 返回公开题库
八年级数学填空题一般
题目
学习了全等三角形后,我们知道中点在平行线之间的题目通常会用到倍长中线构造"88"字型全等的方法,比如在图11,已知ABAB∥CD,CD,连结ADAD,BCBC交于点EE,若EE为ADAD中点,则有△ABE\triangle ABE≌△DCE.\triangle DCE.请利用以上方法解决下列问题.
问题11:为测量河对岸AA点到BB点的距离,可借鉴上述方法求值:过点BB画直线ll,并在直线ll上依次取CC点和DD点,使得AC⊥lAC\bot l,BC=BDBC=BD,补全图形,指出测量哪条线段就可知道ABAB的长,请加以证明；
问题22:【深入思考】如图33,在△ABC\triangle ABC中,DD是ACAC的中点,BA=BEBA=BE,BC=BFBC=BF,∠ABE=∠CBF=90∘\angle ABE=\angle CBF=90^{\circ},试判断线段BDBD与EFEF的数量关系并证明；
问题33:如图44,在Rt△ABCRt\triangle ABC中,∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ},DD为ABAB中点,连接CDCD,作ED⊥CDED\bot CD交ACAC于点EE.已知AE=2AE=2,BC=5BC=5,则CECE的长______.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

（1）①如图补充：

②AB=BMAB=BM；
③证明：过点DD作DM⊥CDDM\bot CD交ABAB延长线于MM，
∵AC⊥CD\because AC\bot CD，DM⊥CDDM\bot CD，
∴AC\therefore AC∥DMDM，
∴∠A=∠M\therefore \angle A=\angle M，
又∵CB=BD\because CB=BD，∠ABC=∠MBD\angle ABC=\angle MBD，
∴△ABC\therefore \triangle ABC≌△BMD(AAS)\triangle BMD\left(AAS\right)，
∴AB=BM\therefore AB=BM；
(2)BD=12EF(2)BD=\frac{1}{2}EF，理由如下：

延长BDBD到GG，使得DG=BDDG=BD，
由（1）知,△BDA,\triangle BDA≌△CDG\triangle CDG，
∴CG=AB\therefore CG=AB，∠BAC=∠DCG\angle BAC=\angle DCG，
∴AB\therefore AB∥CGCG，
∴∠ABC+∠BCG=180∘\therefore \angle ABC+\angle BCG=180^{\circ}，
∵∠ABE=∠FBC=90∘\because \angle ABE=\angle FBC=90^{\circ}，
∴∠ABC+∠EBF=180∘\therefore \angle ABC+\angle EBF=180^{\circ}，
∴∠BCG=∠EBF\therefore \angle BCG=\angle EBF，
在△GBC\triangle GBC和△EBF\triangle EBF中，
{BF=BC∠BCG=∠EBFBE=CG\left\{\begin{array}{l}{BF=BC}\\{∠BCG=∠EBF}\\{BE=CG}\end{array}\right.，
∴△GBC\therefore \triangle GBC≌△EBF(SAS)\triangle EBF\left(SAS\right)，
∴BG=EF\therefore BG=EF，
∴BD=12EF\therefore BD=\frac{1}{2}EF；
(3)(3)如图44，延长CDCD到FF使DF=CDDF=CD，
∵D\because D为ABAB中点，
∴BD=AD\therefore BD=AD，

∵∠ADF=∠BDC\because \angle ADF=\angle BDC，
∴△ADF\therefore \triangle ADF≌△BDC(SAS)\triangle BDC\left(SAS\right)，
∴AF=BC=5\therefore AF=BC=5，∠FAD=∠B\angle FAD=\angle B，
∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，
∴∠CAB+∠B=∠CAB+∠BAF=90∘\therefore \angle CAB+\angle B=\angle CAB+\angle BAF=90^{\circ}，
∴∠CAF=90∘\therefore \angle CAF=90^{\circ}，
∵ED⊥CD\because ED\bot CD，
∴EF=CE\therefore EF=CE，
∵AE=2\because AE=2，
∴CE=EF=AE2+AF2=22+52=29\therefore CE=EF=\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}=\sqrt{29}.
故答案为：29\sqrt{29}.

解析

（1）①如图补充：

②AB=BMAB=BM；
③证明：过点DD作DM⊥CDDM\bot CD交ABAB延长线于MM，
∵AC⊥CD\because AC\bot CD，DM⊥CDDM\bot CD，
∴AC\therefore AC∥DMDM，
∴∠A=∠M\therefore \angle A=\angle M，
又∵CB=BD\because CB=BD，∠ABC=∠MBD\angle ABC=\angle MBD，
∴△ABC\therefore \triangle ABC≌△BMD(AAS)\triangle BMD\left(AAS\right)，
∴AB=BM\therefore AB=BM；
(2)BD=12EF(2)BD=\frac{1}{2}EF，理由如下：

延长BDBD到GG，使得DG=BDDG=BD，
由（1）知,△BDA,\triangle BDA≌△CDG\triangle CDG，
∴CG=AB\therefore CG=AB，∠BAC=∠DCG\angle BAC=\angle DCG，
∴AB\therefore AB∥CGCG，
∴∠ABC+∠BCG=180∘\therefore \angle ABC+\angle BCG=180^{\circ}，
∵∠ABE=∠FBC=90∘\because \angle ABE=\angle FBC=90^{\circ}，
∴∠ABC+∠EBF=180∘\therefore \angle ABC+\angle EBF=180^{\circ}，
∴∠BCG=∠EBF\therefore \angle BCG=\angle EBF，
在△GBC\triangle GBC和△EBF\triangle EBF中，
{BF=BC∠BCG=∠EBFBE=CG\left\{\begin{array}{l}{BF=BC}\\{∠BCG=∠EBF}\\{BE=CG}\end{array}\right.，
∴△GBC\therefore \triangle GBC≌△EBF(SAS)\triangle EBF\left(SAS\right)，
∴BG=EF\therefore BG=EF，
∴BD=12EF\therefore BD=\frac{1}{2}EF；
(3)(3)如图44，延长CDCD到FF使DF=CDDF=CD，
∵D\because D为ABAB中点，
∴BD=AD\therefore BD=AD，

∵∠ADF=∠BDC\because \angle ADF=\angle BDC，
∴△ADF\therefore \triangle ADF≌△BDC(SAS)\triangle BDC\left(SAS\right)，
∴AF=BC=5\therefore AF=BC=5，∠FAD=∠B\angle FAD=\angle B，
∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，
∴∠CAB+∠B=∠CAB+∠BAF=90∘\therefore \angle CAB+\angle B=\angle CAB+\angle BAF=90^{\circ}，
∴∠CAF=90∘\therefore \angle CAF=90^{\circ}，
∵ED⊥CD\because ED\bot CD，
∴EF=CE\therefore EF=CE，
∵AE=2\because AE=2，
∴CE=EF=AE2+AF2=22+52=29\therefore CE=EF=\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}=\sqrt{29}.
故答案为：29\sqrt{29}.

自由组卷

围绕这道题再组一份练习 →

完整试卷

浏览同年级试卷结构 →