$(1)$$\because PD$垂直平分$BC$，
$\therefore PC=PB$，
$\therefore \angle PCB=\angle PBC=28^{\circ}$，
$\therefore \angle BPC=180^{\circ}-2\times 28^{\circ}=124^{\circ}$，
故答案为：$124^{\circ}$；
$(2)$证明：如图，过点$P$作$PF\bot AC$于点$F$，

$\because AP$是$\angle CAB$的平分线，
$\therefore \angle FAP=\angle EAP$，
$\therefore PF\bot AC$，$PE\bot AE$，
$\therefore \angle AFP=\angle AEP=90^{\circ}$.
在$\triangle APF$和$\triangle APE$中，
$\left\{{\begin{array}{l}{∠PAF=∠PAE}\\{∠AFP=∠AEP}\\{AP=AP}\end{array}}\right.$，
$\therefore \triangle APF$≌$\triangle APE\left(AAS\right)$，
$\therefore AF=AE$，$PF=PE$，
在$Rt\triangle CPF$与$Rt\triangle BPE$中，
$\left\{{\begin{array}{l}{PF=PE}\\{PC=PB}\end{array}}\right.$，
$\therefore Rt\triangle CPF$≌$Rt\triangle BPE\left(HL\right)$，
$\therefore CF=BE$，
$\therefore AC-AF=CF$，$AF=AE$，
$\therefore AC-AE=BE$，
$\therefore BE=AE-AB$，
$\therefore AC-AE=AE-AB$，
$\therefore AC+AB=2AE$.

$(1)$$\because PD$垂直平分$BC$，
$\therefore PC=PB$，
$\therefore \angle PCB=\angle PBC=28^{\circ}$，
$\therefore \angle BPC=180^{\circ}-2\times 28^{\circ}=124^{\circ}$，
故答案为：$124^{\circ}$；
$(2)$证明：如图，过点$P$作$PF\bot AC$于点$F$，

$\because AP$是$\angle CAB$的平分线，
$\therefore \angle FAP=\angle EAP$，
$\therefore PF\bot AC$，$PE\bot AE$，
$\therefore \angle AFP=\angle AEP=90^{\circ}$.
在$\triangle APF$和$\triangle APE$中，
$\left\{{\begin{array}{l}{∠PAF=∠PAE}\\{∠AFP=∠AEP}\\{AP=AP}\end{array}}\right.$，
$\therefore \triangle APF$≌$\triangle APE\left(AAS\right)$，
$\therefore AF=AE$，$PF=PE$，
在$Rt\triangle CPF$与$Rt\triangle BPE$中，
$\left\{{\begin{array}{l}{PF=PE}\\{PC=PB}\end{array}}\right.$，
$\therefore Rt\triangle CPF$≌$Rt\triangle BPE\left(HL\right)$，
$\therefore CF=BE$，
$\therefore AC-AF=CF$，$AF=AE$，
$\therefore AC-AE=BE$，
$\therefore BE=AE-AB$，
$\therefore AC-AE=AE-AB$，
$\therefore AC+AB=2AE$.