在$\triangle ABC$中,$AB$、$AC$边的垂直平分线分别交$BC$边于点$M$、$N$.

（1）如图①,若$\triangle AMN$是等边三角形,则$\angle BAC=\_\_\_^{\circ}$；

（2）如图②,若$\angle BAC=135^{\circ}$,求证:$BM^{2}+CN^{2}=MN^{2}$.

（3）如图③,$\angle ABC$的平分线$BP$和$AC$边的垂直平分线相交于点$P$,过点$P$作$PH$垂直$BA$的延长线于点$H$.若$AB=4$,$CB=10$,求$AH$的长.