（1）如图①，$\because \triangle AMN$是等边三角形，

$\therefore \angle AMN=60^{\circ}$，

$\because AB$、$AC$边的垂直平分线分别交$BC$边于点$M$、$N$，

$\therefore AM=BM$，

$\therefore \angle B=\angle BAM=30^{\circ}$

同理：$\angle C=30^{\circ}$，

$\therefore \angle BAC=180^{\circ}-\angle B-\angle C=120^{\circ}$

故答案为$120$；

（2）如图②，连接$AM$、$AN$

$\because \angle BAC=135^{\circ}$

$\therefore \angle B+\angle C=45^{\circ}$，

又$\because$点$M$在$AB$的垂直平分线上

$\therefore AM=BM$

$\therefore \angle BAM=\angle B$，

同理$AN=CN$，$\angle CAN=\angle C$

$\therefore \angle BAM+\angle CAN=45^{\circ}$

$\therefore \angle MAN=90^{\circ}$，

$\therefore AM^{2}+AN^{2}=MN^{2}$；

$\therefore BM^{2}+CN^{2}=MN^{2}$；

（3）如图③，连接$AP$、$CP$，过点$P$作$PE\bot BC$于点$E$

$\because BP$平分$\angle ABC$，$PH\bot BA$，$PE\bot BC$

$\therefore PH=PE$

$\because$点$P$在$AC$的垂直平分线上

$\therefore AP=CP$

在$Rt\triangle APH$和$Rt\triangle CPE$中

$\left\{\begin{array}{l}AP=CP\\PH=PE\end{array}\right.$

$\therefore Rt\triangle APH$≌$Rt\triangle CPE\left(HL\right)$

$\therefore AH=CE$，

$\because BP$平分$\angle ABC$，$PH\bot BA$，$PE\bot BC$

$\therefore \angle HBP=\angle CBP$，$\angle BHP=\angle BEP=90^{\circ}$

$\because BP=BP$

$\therefore Rt\triangle BPH$≌$Rt\triangle BPE\left(AAS\right)$

$\therefore BH=BE$，

$\therefore BC=BE+CE=BH+CE=AB+2AH$

$\therefore AH=\left(BC-AB\right)\div 2=3$.

（1）如图①，$\because \triangle AMN$是等边三角形，

$\therefore \angle AMN=60^{\circ}$，

$\because AB$、$AC$边的垂直平分线分别交$BC$边于点$M$、$N$，

$\therefore AM=BM$，

$\therefore \angle B=\angle BAM=30^{\circ}$

同理：$\angle C=30^{\circ}$，

$\therefore \angle BAC=180^{\circ}-\angle B-\angle C=120^{\circ}$

故答案为$120$；

（2）如图②，连接$AM$、$AN$

$\because \angle BAC=135^{\circ}$

$\therefore \angle B+\angle C=45^{\circ}$，

又$\because$点$M$在$AB$的垂直平分线上

$\therefore AM=BM$

$\therefore \angle BAM=\angle B$，

同理$AN=CN$，$\angle CAN=\angle C$

$\therefore \angle BAM+\angle CAN=45^{\circ}$

$\therefore \angle MAN=90^{\circ}$，

$\therefore AM^{2}+AN^{2}=MN^{2}$；

$\therefore BM^{2}+CN^{2}=MN^{2}$；

（3）如图③，连接$AP$、$CP$，过点$P$作$PE\bot BC$于点$E$

$\because BP$平分$\angle ABC$，$PH\bot BA$，$PE\bot BC$

$\therefore PH=PE$

$\because$点$P$在$AC$的垂直平分线上

$\therefore AP=CP$

在$Rt\triangle APH$和$Rt\triangle CPE$中

$\left\{\begin{array}{l}AP=CP\\PH=PE\end{array}\right.$

$\therefore Rt\triangle APH$≌$Rt\triangle CPE\left(HL\right)$

$\therefore AH=CE$，

$\because BP$平分$\angle ABC$，$PH\bot BA$，$PE\bot BC$

$\therefore \angle HBP=\angle CBP$，$\angle BHP=\angle BEP=90^{\circ}$

$\because BP=BP$

$\therefore Rt\triangle BPH$≌$Rt\triangle BPE\left(AAS\right)$

$\therefore BH=BE$，

$\therefore BC=BE+CE=BH+CE=AB+2AH$

$\therefore AH=\left(BC-AB\right)\div 2=3$.