（1）设顶角为$x$度，则底角为$2x$度，则：$x+2x+2x=180$，解得：$x=36$，所以这个三角形三个内角的度数分别为$36^{\circ}$，$72^{\circ}$，$72^{\circ}$；
$(2)$在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$BC=9$，$AB=15$，
$\therefore AC=\sqrt{{{AB}^{2}-BC}^{2}}=12$.

（1）设顶角为$x$度，则底角为$2x$度，则：$x+2x+2x=180$，解得：$x=36$，所以这个三角形三个内角的度数分别为$36^{\circ}$，$72^{\circ}$，$72^{\circ}$；
$(2)$在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$BC=9$，$AB=15$，
$\therefore AC=\sqrt{{{AB}^{2}-BC}^{2}}=12$.