定义:一个内角等于另一个内角两倍的三角形,叫做"倍角三角形".
$(1)$下列三角形一定是"倍角三角形"的有______$(只填写序号)$.
①顶角是$30^{\circ}$的等腰三角形；
②等腰直角三角形；
③有一个角是$30^{\circ}$的直角三角形.
$(2)$如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC\geqslant 90^{\circ}$,将$\triangle ABC$沿边$AB$所在的直线翻折$180^{\circ}$得到$\triangle ABD$,延长$DA$到点$E$,连接$BE$.
①若$BC=BE$,求证:$\triangle ABE$是"倍角三角形"；
②点$P$在线段$AE$上,连接$BP$.若$\angle C=30^{\circ}$,$BP$分$\triangle ABE$所得的两三角形中,一个是等腰三角形,一个是"倍角三角形",请直接写出$\angle E$的度数.