$(1)$若顶角是$30^{\circ}$的等腰三角形，
$\therefore$两个底角分别为$75^{\circ}$，$75^{\circ}$，
$\therefore$顶角是$30^{\circ}$的等腰三角形不是“倍角三角形”，
若等腰直角三角形，
$\therefore$三个角分别为$45^{\circ}$，$45^{\circ}$，$90^{\circ}$，
$\because 90^{\circ}=2\times 45^{\circ}$，
$\therefore$等腰直角三角形是“倍角三角形”，
若有一个是$30^{\circ}$的直角三角形，
$\therefore$另两个角分别为$60^{\circ}$，$90^{\circ}$，
$\because 60^{\circ}=2\times 30^{\circ}$，
$\therefore$有一个$30^{\circ}$的直角三角形是“倍角三角形”，
故答案为：②③；
$(2)$①证明：$\because AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB$，
$\because$将$\triangle ABC$沿边$AB$所在的直线翻折$180^{\circ}$得到$\triangle ABD$，
$\therefore \angle ABC=\angle ABD$，$\angle ACB=\angle ADB$，$BC=BD$，
$\therefore \angle BAE=2\angle ADB$，
$\because BE=BC$，
$\therefore BD=BE$，
$\therefore \angle E=\angle ADB$，
$\therefore \angle BAE=2\angle E$，
$\therefore \triangle ABE$是“倍角三角形”；
②由①可得$\angle BAE=2\angle BDA=2\angle C=60^{\circ}$，
如图，

若$\triangle ABP$是等腰三角形，则$\triangle BPE$是“倍角三角形”，
$\therefore \triangle ABP$是等边三角形，
$\therefore \angle APB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BPE=120^{\circ}$，
$\because \triangle BPE$是“倍角三角形”，
$\therefore \angle BEP=2\angle EBP$或$\angle PBE=2\angle BEP$，
$\therefore \angle BEP=20^{\circ}$或$40^{\circ}$；
若$\triangle BPE$是等腰三角形，则$\triangle ABP$是“倍角三角形”，
$\therefore \angle ABP=\frac{1}{2}\angle BAP=30^{\circ}$或$\angle APB=\frac{1}{2}\angle BAE=30^{\circ}$或$\angle ABP=2\angle APB$或$\angle APB=2\angle ABP$，
$\therefore \angle APB=90^{\circ}$或$30^{\circ}$或$40^{\circ}$或$80^{\circ}$，
$\therefore \angle BPE=90^{\circ}$或$150^{\circ}$或$140^{\circ}$或$100^{\circ}$，
$\because \triangle BPE$是等腰三角形，
$\therefore \angle BEP=45^{\circ}$或$15^{\circ}$或$20^{\circ}$或$40^{\circ}$，
综上所述：$\angle BPE$的度数为$45^{\circ}$或$15^{\circ}$或$20^{\circ}$或$40^{\circ}$.

$(1)$若顶角是$30^{\circ}$的等腰三角形，
$\therefore$两个底角分别为$75^{\circ}$，$75^{\circ}$，
$\therefore$顶角是$30^{\circ}$的等腰三角形不是“倍角三角形”，
若等腰直角三角形，
$\therefore$三个角分别为$45^{\circ}$，$45^{\circ}$，$90^{\circ}$，
$\because 90^{\circ}=2\times 45^{\circ}$，
$\therefore$等腰直角三角形是“倍角三角形”，
若有一个是$30^{\circ}$的直角三角形，
$\therefore$另两个角分别为$60^{\circ}$，$90^{\circ}$，
$\because 60^{\circ}=2\times 30^{\circ}$，
$\therefore$有一个$30^{\circ}$的直角三角形是“倍角三角形”，
故答案为：②③；
$(2)$①证明：$\because AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB$，
$\because$将$\triangle ABC$沿边$AB$所在的直线翻折$180^{\circ}$得到$\triangle ABD$，
$\therefore \angle ABC=\angle ABD$，$\angle ACB=\angle ADB$，$BC=BD$，
$\therefore \angle BAE=2\angle ADB$，
$\because BE=BC$，
$\therefore BD=BE$，
$\therefore \angle E=\angle ADB$，
$\therefore \angle BAE=2\angle E$，
$\therefore \triangle ABE$是“倍角三角形”；
②由①可得$\angle BAE=2\angle BDA=2\angle C=60^{\circ}$，
如图，

若$\triangle ABP$是等腰三角形，则$\triangle BPE$是“倍角三角形”，
$\therefore \triangle ABP$是等边三角形，
$\therefore \angle APB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BPE=120^{\circ}$，
$\because \triangle BPE$是“倍角三角形”，
$\therefore \angle BEP=2\angle EBP$或$\angle PBE=2\angle BEP$，
$\therefore \angle BEP=20^{\circ}$或$40^{\circ}$；
若$\triangle BPE$是等腰三角形，则$\triangle ABP$是“倍角三角形”，
$\therefore \angle ABP=\frac{1}{2}\angle BAP=30^{\circ}$或$\angle APB=\frac{1}{2}\angle BAE=30^{\circ}$或$\angle ABP=2\angle APB$或$\angle APB=2\angle ABP$，
$\therefore \angle APB=90^{\circ}$或$30^{\circ}$或$40^{\circ}$或$80^{\circ}$，
$\therefore \angle BPE=90^{\circ}$或$150^{\circ}$或$140^{\circ}$或$100^{\circ}$，
$\because \triangle BPE$是等腰三角形，
$\therefore \angle BEP=45^{\circ}$或$15^{\circ}$或$20^{\circ}$或$40^{\circ}$，
综上所述：$\angle BPE$的度数为$45^{\circ}$或$15^{\circ}$或$20^{\circ}$或$40^{\circ}$.