（1）线段$DF$与$AD$的数量关系为：$AD=2DF$，理由如下：
延长$DF$至点$M$，使$DF=FM$，连接$BM$、$AM$，如图$1$所示：

$\because$点$F$为$BE$的中点，
$\therefore BF=EF$，
在$\triangle BFM$和$\triangle EFD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=EF}\\{∠BFM=∠EFD}\\{FM=DF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BFM$≌$\triangle EFD\left(SAS\right)$，
$\therefore BM=DE$，$\angle MBF=\angle DEF$，
$\therefore BM$∥$DE$，
$\because$线段$CD$绕点$D$逆时针旋转$120^{\circ}$得到线段$DE$，
$\therefore CD=DE=BM$，$\angle BDE=120^{\circ}$，
$\therefore \angle MBD=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$，
$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=AC$，$\angle ABC=\angle ACB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ABM=\angle ABC+\angle MBD=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$，
$\because \angle ACD=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$，
$\therefore \angle ABM=\angle ACD$，
在$\triangle ABM$和$\triangle ACD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABM=∠ACD}\\{BM=CD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABM$≌$\triangle ACD\left(SAS\right)$，
$\therefore AM=AD$，$\angle BAM=\angle CAD$，
$\therefore \angle MAD=\angle MAC+\angle CAD=\angle MAC+\angle BAM=\angle BAC=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle AMD$是等边三角形，
$\therefore AD=DM=2DF$；
$(2)$连接$CE$，取$BC$的中点$N$，连接作射线$NF$，如图$2$所示：

$\because \triangle CDE$为等腰三角形，$\angle CDE=120^{\circ}$，
$\therefore \angle DCE=30^{\circ}$，
$\because$点$N$为$BC$的中点，点$F$为$BE$的中点，
$\therefore NF$是$\triangle BCE$的中位线，
$\therefore NF$∥$CE$，
$\therefore \angle CNF=\angle DCE=30^{\circ}$，
$\therefore$点$F$的轨迹为射线$NF$，且$\angle CNF=30^{\circ}$，
当$CF\bot NF$时，$CF$最短，
$\because AB=BC=4$，
$\therefore CN=2$，
在$Rt\triangle CNF$中，$\angle CNF=30^{\circ}$，
$\therefore CF=\frac{1}{2}CN=1$，
$\therefore$线段$CF$长度的最小值为$1$.

（1）线段$DF$与$AD$的数量关系为：$AD=2DF$，理由如下：
延长$DF$至点$M$，使$DF=FM$，连接$BM$、$AM$，如图$1$所示：

$\because$点$F$为$BE$的中点，
$\therefore BF=EF$，
在$\triangle BFM$和$\triangle EFD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=EF}\\{∠BFM=∠EFD}\\{FM=DF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BFM$≌$\triangle EFD\left(SAS\right)$，
$\therefore BM=DE$，$\angle MBF=\angle DEF$，
$\therefore BM$∥$DE$，
$\because$线段$CD$绕点$D$逆时针旋转$120^{\circ}$得到线段$DE$，
$\therefore CD=DE=BM$，$\angle BDE=120^{\circ}$，
$\therefore \angle MBD=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$，
$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=AC$，$\angle ABC=\angle ACB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ABM=\angle ABC+\angle MBD=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$，
$\because \angle ACD=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$，
$\therefore \angle ABM=\angle ACD$，
在$\triangle ABM$和$\triangle ACD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABM=∠ACD}\\{BM=CD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABM$≌$\triangle ACD\left(SAS\right)$，
$\therefore AM=AD$，$\angle BAM=\angle CAD$，
$\therefore \angle MAD=\angle MAC+\angle CAD=\angle MAC+\angle BAM=\angle BAC=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle AMD$是等边三角形，
$\therefore AD=DM=2DF$；
$(2)$连接$CE$，取$BC$的中点$N$，连接作射线$NF$，如图$2$所示：

$\because \triangle CDE$为等腰三角形，$\angle CDE=120^{\circ}$，
$\therefore \angle DCE=30^{\circ}$，
$\because$点$N$为$BC$的中点，点$F$为$BE$的中点，
$\therefore NF$是$\triangle BCE$的中位线，
$\therefore NF$∥$CE$，
$\therefore \angle CNF=\angle DCE=30^{\circ}$，
$\therefore$点$F$的轨迹为射线$NF$，且$\angle CNF=30^{\circ}$，
当$CF\bot NF$时，$CF$最短，
$\because AB=BC=4$，
$\therefore CN=2$，
在$Rt\triangle CNF$中，$\angle CNF=30^{\circ}$，
$\therefore CF=\frac{1}{2}CN=1$，
$\therefore$线段$CF$长度的最小值为$1$.