$(1)$如图$1$，$AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，点$A$，$B$分别在$x$轴的负半轴和$y$轴的正半轴上，点$C\left(3,-2\right)$.作$CM\bot x$轴于$M$，

$\therefore OM=3$，$CM=2$，$AB\bot AC$，
$\therefore \angle BAC=\angle AOB=\angle CMA=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAO+\angle CAM=90^{\circ}$，$\angle CAM+\angle ACM=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAO=\angle ACM$；
在$\triangle BAO$和$\triangle ACM$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠ACM}\\{∠AOB=∠CMA}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BAO$≌$\triangle ACM\left(AAS\right)$，
$\therefore AO=CM=2$，
$OB=AM=AO+OM=2+3=5$，
$\therefore A\left(-2,0\right)$，$B\left(0,5\right)$；
$(2)$设$H$的坐标为$\left(x,y\right)$，
$\because \triangle HBC$是等腰直角三角形，如图，$H_{1}$与点$C$关于直线$AB$对称，

点$A$为线段$CH_{1}$的中点，
$\because A\left(-2,0\right)$，$C\left(3,-2\right)$，
$\therefore \frac{x+3}{2}=-2，\frac{y+(-2)}{2}=0$，
$\therefore x=-7$，$y=2$，
$\therefore H_{1}(-7,2)$，
同理可求点$H_{2}(-4,-10)$，$H_{4}(7,8)$，$H_{3}(5,3)$，$H_{5}(10,1)$，
$\therefore$点$H$的坐标为$\left(-7,2\right)$或$\left(7,8\right)$或$\left(-4,-10\right)$或$\left(10,1\right)$或$\left(5,3\right)$；
$(3)$证明：过$O$作$OK\bot OP$交$PG$的延长线于点$K$，连接$BK$，如图$3$，

$\because \angle OPK=45^{\circ}$，$OK\bot OP$，
$\therefore OK=OP$，
$\because \angle KOB+\angle BOP=\angle BOP+\angle FOP$，
$\therefore \angle KOB=\angle POF$.
$\because OB=OF$，
在$\triangle KOB$与$\triangle POF$中，
$\left\{\begin{array}{c}KO=OP\\∠KOB=∠POF\\ OB=OF\end{array}\right.$，
$\triangle KOB$≌$\triangle POF\left(SAS\right)$，
$\therefore KB=PF$，$\angle OKB=\angle OPF$.
$\because PN=PF$，
$\therefore KB=PN$.
$\because \angle BKG=\angle OKB-45^{\circ}$，$\angle NPG=45^{\circ}-\angle OPM=45^{\circ}-\left(90^{\circ}-\angle OPF\right)=\angle OPF-45,\triangle KOB$≌$\triangle POF\left(SAS\right)$，
$\therefore \triangle BKG$≌$\triangle NPG\left(AAS\right)$，
$\therefore BG=GN$，
$\therefore$点$G$是$BN$的中点.
$\therefore \angle BKG=\angle NPG$，
在$\triangle BKG$与$\triangle NPG$中，
$\left\{\begin{array}{c}∠BKG=∠NPG\\∠BGK=∠NGP\\ BK=NP\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BKG$≌$\triangle NPG\left(AAS\right)$，
$\therefore BG=GN$，
$\therefore$点$G$是$BN$的中点.

$(1)$如图$1$，$AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，点$A$，$B$分别在$x$轴的负半轴和$y$轴的正半轴上，点$C\left(3,-2\right)$.作$CM\bot x$轴于$M$，

$\therefore OM=3$，$CM=2$，$AB\bot AC$，
$\therefore \angle BAC=\angle AOB=\angle CMA=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAO+\angle CAM=90^{\circ}$，$\angle CAM+\angle ACM=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAO=\angle ACM$；
在$\triangle BAO$和$\triangle ACM$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠ACM}\\{∠AOB=∠CMA}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BAO$≌$\triangle ACM\left(AAS\right)$，
$\therefore AO=CM=2$，
$OB=AM=AO+OM=2+3=5$，
$\therefore A\left(-2,0\right)$，$B\left(0,5\right)$；
$(2)$设$H$的坐标为$\left(x,y\right)$，
$\because \triangle HBC$是等腰直角三角形，如图，$H_{1}$与点$C$关于直线$AB$对称，

点$A$为线段$CH_{1}$的中点，
$\because A\left(-2,0\right)$，$C\left(3,-2\right)$，
$\therefore \frac{x+3}{2}=-2，\frac{y+(-2)}{2}=0$，
$\therefore x=-7$，$y=2$，
$\therefore H_{1}(-7,2)$，
同理可求点$H_{2}(-4,-10)$，$H_{4}(7,8)$，$H_{3}(5,3)$，$H_{5}(10,1)$，
$\therefore$点$H$的坐标为$\left(-7,2\right)$或$\left(7,8\right)$或$\left(-4,-10\right)$或$\left(10,1\right)$或$\left(5,3\right)$；
$(3)$证明：过$O$作$OK\bot OP$交$PG$的延长线于点$K$，连接$BK$，如图$3$，

$\because \angle OPK=45^{\circ}$，$OK\bot OP$，
$\therefore OK=OP$，
$\because \angle KOB+\angle BOP=\angle BOP+\angle FOP$，
$\therefore \angle KOB=\angle POF$.
$\because OB=OF$，
在$\triangle KOB$与$\triangle POF$中，
$\left\{\begin{array}{c}KO=OP\\∠KOB=∠POF\\ OB=OF\end{array}\right.$，
$\triangle KOB$≌$\triangle POF\left(SAS\right)$，
$\therefore KB=PF$，$\angle OKB=\angle OPF$.
$\because PN=PF$，
$\therefore KB=PN$.
$\because \angle BKG=\angle OKB-45^{\circ}$，$\angle NPG=45^{\circ}-\angle OPM=45^{\circ}-\left(90^{\circ}-\angle OPF\right)=\angle OPF-45,\triangle KOB$≌$\triangle POF\left(SAS\right)$，
$\therefore \triangle BKG$≌$\triangle NPG\left(AAS\right)$，
$\therefore BG=GN$，
$\therefore$点$G$是$BN$的中点.
$\therefore \angle BKG=\angle NPG$，
在$\triangle BKG$与$\triangle NPG$中，
$\left\{\begin{array}{c}∠BKG=∠NPG\\∠BGK=∠NGP\\ BK=NP\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BKG$≌$\triangle NPG\left(AAS\right)$，
$\therefore BG=GN$，
$\therefore$点$G$是$BN$的中点.