已知:如图$1$,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$,点$A$,$B$分别在$x$轴的负半轴和$y$轴的正半轴上,点$C\left(3,-2\right)$.

$(1)$求点$A$,点$B$的坐标；
$(2)$连接$BC$,在（1）的条件下,在平面直角坐标系中,点$H$为平面内任一点（点$H$不与点$A$重合）,若$\triangle HBC$是等腰直角三角形,请直接写出点$H$的坐标；
$(3)$如图$2$,点$F$在$x$轴的正半轴上,且$OF=OB$,点$P$在第一象限内,连接$PF$,过$P$作$PM\bot PF$交$y$轴于点$M$,在$PM$上截取$PN=PF$,连接$PO$、$BN$,过$P$作$\angle OPG=45^{\circ}$,交$BN$于点$G$,求证:点$G$是$BN$的中点.