C

$\because AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，$\therefore \angle B=\angle C=45^{\circ}$，
$\because P$为边$BC$的中点，
$\therefore AP=BP=CP$，$\angle BAP=\angle CAP=45^{\circ}$，$AP\bot BC$，
$\therefore \angle EAP=\angle C$，
又$\because \angle EPA+\angle APF=90^{\circ}$，$\angle FPC+\angle APF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EPA=\angle FPC$，
在$\triangle EPA$和$\triangle FPC$中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C}\\{AP=PC}\\{∠EPA=FPC}\end{array}\right.$
$\therefore \triangle EPA$≌$\triangle FPC\left(ASA\right)$，
$\therefore AE=CF$，$EP=FP$，所以①正确；
$\therefore \triangle EPF$是等腰直角三角形，所以②正确；
$\because$四边形$AEPF$的面积等于$\triangle APC$的面积，
$\therefore 2S_{四边形AEPF}=S_{\triangle ABC}$，所以③正确；
又$\because EF=\frac{PF}{2}$，
而只有$F$点为$AC$的中点时，$AP=\frac{PF}{2}$
即点$F$为$AC$的中点时有$EF=AP$，所以④不一定正确.
所以当$\angle EPF$在$ABC$内绕顶点$P$旋转时（点$E$不与$A$、$B$重合），上述结论中始终正确的有①②③，共$3$个.
故选：$C$.