如图$1$，$MD_{1}=\sqrt{{1}^{1}+(4+2)^{2}}=\sqrt{37}$，
如图$2$，$MD_{1}=\sqrt{(1+2)^{2}+{4}^{2}}=5$，
$\because \sqrt{37} \gt 5$，
$\therefore$蚂蚁爬行的最短距离是$5$，
故答案为：$5$.

画出长方体的侧面展开图，利用勾股定理求解即可.

【点评】

本题考查的是平面展开$-$最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.

如图$1$，$MD_{1}=\sqrt{{1}^{1}+(4+2)^{2}}=\sqrt{37}$，
如图$2$，$MD_{1}=\sqrt{(1+2)^{2}+{4}^{2}}=5$，
$\because \sqrt{37} \gt 5$，
$\therefore$蚂蚁爬行的最短距离是$5$，
故答案为：$5$.

画出长方体的侧面展开图，利用勾股定理求解即可.

【点评】

本题考查的是平面展开$-$最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.