$(1)$已知一个多边形的内角和是它的外角和的$3$倍，设这个多边形的边数为$n$，则$n$边形的内角和为$\left(n-2\right)\cdot 180^{\circ}$，多边形的外角和为$360^{\circ}$，
$\therefore \left(n-2\right)\cdot 180^{\circ}=360^{\circ}\times 3$，
解得$n=8$.
$\therefore$这个多边形的边数为$8$；
$(2)$证明：在$\triangle ACD$中和$\triangle ABE$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠A=∠A\\ AC=AB\\∠C=∠B\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACD$≌$\triangle ABE\left(ASA\right)$，
$\therefore AD=AE$.

$(1)$已知一个多边形的内角和是它的外角和的$3$倍，设这个多边形的边数为$n$，则$n$边形的内角和为$\left(n-2\right)\cdot 180^{\circ}$，多边形的外角和为$360^{\circ}$，
$\therefore \left(n-2\right)\cdot 180^{\circ}=360^{\circ}\times 3$，
解得$n=8$.
$\therefore$这个多边形的边数为$8$；
$(2)$证明：在$\triangle ACD$中和$\triangle ABE$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠A=∠A\\ AC=AB\\∠C=∠B\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACD$≌$\triangle ABE\left(ASA\right)$，
$\therefore AD=AE$.