$\because \angle BAC=90^{\circ}$，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，
$\therefore \angle BAD=\angle C=45^{\circ}$，$AD=BD$，$\angle ADC=90^{\circ}$，
$\because \angle ADC=\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE=\angle ADF$，
在$\triangle BED$和$\triangle AFD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DAF}\\{BD=AD}\\{∠BDE=∠ADF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BED$≌$\triangle AFD\left(ASA\right)$，故①正确；
$\therefore BE=AF$，
$\therefore AC=AF+FC=BE+FC$，故②正确；
$\because \triangle BED$≌$\triangle AFD$，
$\therefore DE=DF$，
$\therefore \triangle DEF$是等腰直角三角形，
$\therefore DE\bot AB$时，$S_{2}$最小为$\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}AB\times \frac{1}{2}AB=\frac{1}{4}S_{1}$，
当点$E$与$A$或$B$重合时，$S_{2}$最大为$\frac{1}{2}S_{1}$，
$\therefore \frac{1}{4}{S_1}≤{S_2}≤\frac{1}{2}{S_1}$，故③正确；
$\because EF$是变化的，而$AD$为定值，故④错误；
$\because \angle AGF=\angle BAD+\angle AEG=45^{\circ}+\angle AEG$，
$\angle AED=\angle AEG+\angle DEF=\angle AEG+45^{\circ}$，
$\therefore \angle AGF=\angle AED$，故⑤正确.
故答案为：①②③⑤.

$\because \angle BAC=90^{\circ}$，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，
$\therefore \angle BAD=\angle C=45^{\circ}$，$AD=BD$，$\angle ADC=90^{\circ}$，
$\because \angle ADC=\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE=\angle ADF$，
在$\triangle BED$和$\triangle AFD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DAF}\\{BD=AD}\\{∠BDE=∠ADF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BED$≌$\triangle AFD\left(ASA\right)$，故①正确；
$\therefore BE=AF$，
$\therefore AC=AF+FC=BE+FC$，故②正确；
$\because \triangle BED$≌$\triangle AFD$，
$\therefore DE=DF$，
$\therefore \triangle DEF$是等腰直角三角形，
$\therefore DE\bot AB$时，$S_{2}$最小为$\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}AB\times \frac{1}{2}AB=\frac{1}{4}S_{1}$，
当点$E$与$A$或$B$重合时，$S_{2}$最大为$\frac{1}{2}S_{1}$，
$\therefore \frac{1}{4}{S_1}≤{S_2}≤\frac{1}{2}{S_1}$，故③正确；
$\because EF$是变化的，而$AD$为定值，故④错误；
$\because \angle AGF=\angle BAD+\angle AEG=45^{\circ}+\angle AEG$，
$\angle AED=\angle AEG+\angle DEF=\angle AEG+45^{\circ}$，
$\therefore \angle AGF=\angle AED$，故⑤正确.
故答案为：①②③⑤.