D

若$BD=CD$，$AB=AC$，$AD=AD$，
$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle ACD\left(SSS\right)$
$\therefore \angle BAD=\angle CAD$，
$\therefore AD$是$\triangle ABC$角平分线；
故$A$选项不符合题意；
若$\angle ADB=\angle ADC$，且$\angle ADB+\angle ADC=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ADB=\angle ADC=90^{\circ}$，且$AB=AC$，
$\therefore AD$是$\triangle ABC$角平分线；
故$B$选项不符合题意；
若$S_{1}=S_{2}$，
$\therefore BD=CD$，且$AB=AC$，
$\therefore AD$是$\triangle ABC$角平分线；
故$C$选项不符合题意；
若$AD=\frac{1}{2}BC$，无法证明$AD$是$\triangle ABC$角平分线；
故选：$D$.