题目
如图,在
△ABC中,
∠BAC>90∘,
AB的垂直平分线分别交
AB,
BC于点
E,
F,
AC的垂直平分线分别交
AC,
BC于点
M,
N,直线
EF,
MN交于点
P.
(1)求证:点
P在线段
BC的垂直平分线上；
(2)已知
∠FAN=58度,求
∠FPN的度数.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念
答案与解析
答案
(1)证明：连接
PA，
PB，
PC，
∵PE垂直平分
AB，
PM垂直平分
AC，
∴PB=PA，
PC=PA，
∴PB=PC，
∴点
P在线段
BC的垂直平分线上；
(2)∵PE垂直平分
AB，
PM垂直平分
AC，
∴FA=FB，
NA=NC，
∴∠FBA=∠FAB，
∠NCA=∠NAC，
∵∠FBA+∠FAB+∠NCA+∠NAC+∠FAN=180∘，
∴2∠FAB+2∠NAC+∠FAN=180∘，
∵∠FAN=58∘，
∴∠FAB+∠NAC=61∘，
∴∠BAC=∠FAB+∠NAC+∠FAN=61∘+58∘=119∘，
∵FE⊥AB，
NM⊥AC，
∴∠FPN=360∘−90∘−90∘−119∘=61∘.
解析
(1)证明：连接
PA，
PB，
PC，
∵PE垂直平分
AB，
PM垂直平分
AC，
∴PB=PA，
PC=PA，
∴PB=PC，
∴点
P在线段
BC的垂直平分线上；
(2)∵PE垂直平分
AB，
PM垂直平分
AC，
∴FA=FB，
NA=NC，
∴∠FBA=∠FAB，
∠NCA=∠NAC，
∵∠FBA+∠FAB+∠NCA+∠NAC+∠FAN=180∘，
∴2∠FAB+2∠NAC+∠FAN=180∘，
∵∠FAN=58∘，
∴∠FAB+∠NAC=61∘，
∴∠BAC=∠FAB+∠NAC+∠FAN=61∘+58∘=119∘，
∵FE⊥AB，
NM⊥AC，
∴∠FPN=360∘−90∘−90∘−119∘=61∘.
