如图，在$\triangle ABC$的下方作直线$BG$，使$\angle CBG=30^{\circ}$，过点$D$作$DF\bot BC$交$BG$于$F$，过点$B$作$BH\bot AC$于$H$，过点$A$作$AL\bot BC$于$L$，交$BH$于$K$，连接$CK$，$AF$，

$\because \angle BAC=\angle EAD=30^{\circ}$，
$\therefore \angle EAC=\angle BAD$，
$\because AB=AC$，$AE=AD$，
$\therefore \triangle BAD$≌$\triangle CAE\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle ACE=\angle B$，$BD=CE$，
在$Rt\triangle BDF$中，$\angle FBD=30^{\circ}$，
$\therefore 2DF=BF$，
$\because BF^{2}-DF^{2}=BD^{2}$，
$\therefore \left(2DF\right)^{2}-DF^{2}=BD^{2}$，
$\therefore DF=\frac{\sqrt{3}}{3}BD$，
$\therefore AE+\frac{\sqrt{3}}{3}CE=AD+\frac{\sqrt{3}}{3}BD=AD+DF\geqslant AF$，
$\because AB=AC$，$\angle BAC=30^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=75^{\circ}$，
在$\triangle ABF$中，$\angle ABF=75^{\circ}+30^{\circ}=105^{\circ}$为钝角，
$\therefore AF \gt AB$，
$\therefore$当点$D$与点$B$重合时，$AE+\frac{\sqrt{3}}{3}CE=AD+\frac{\sqrt{3}}{3}BD=AB$为最小值，
设$AB=AC=x$，
在$Rt\triangle ABH$中，$\angle BAH=30^{\circ}$，
$\therefore BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}x$，
$\therefore AH=\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
$\therefore CH=AC-AH=\frac{2-\sqrt{3}}{2}x$，
在$Rt\triangle BCH$中，$BH^{2}+CH^{2}=BC^{2}$，
$\therefore (\frac{1}{2}x)^{2}+(\frac{2-\sqrt{3}}{2}x)^{2}=m^{2}$，
整理得：$x^{2}=(2+\sqrt{3})m^{2}=(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}m)^{2}$，
$\because x \gt 0$，
$\therefore x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}m$，
即$AB=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}m$，
$\therefore AE+\frac{\sqrt{3}}{3}CE$的最小值为$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}m$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}m$.

如图，在$\triangle ABC$的下方作直线$BG$，使$\angle CBG=30^{\circ}$，过点$D$作$DF\bot BC$交$BG$于$F$，过点$B$作$BH\bot AC$于$H$，过点$A$作$AL\bot BC$于$L$，交$BH$于$K$，连接$CK$，$AF$，

$\because \angle BAC=\angle EAD=30^{\circ}$，
$\therefore \angle EAC=\angle BAD$，
$\because AB=AC$，$AE=AD$，
$\therefore \triangle BAD$≌$\triangle CAE\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle ACE=\angle B$，$BD=CE$，
在$Rt\triangle BDF$中，$\angle FBD=30^{\circ}$，
$\therefore 2DF=BF$，
$\because BF^{2}-DF^{2}=BD^{2}$，
$\therefore \left(2DF\right)^{2}-DF^{2}=BD^{2}$，
$\therefore DF=\frac{\sqrt{3}}{3}BD$，
$\therefore AE+\frac{\sqrt{3}}{3}CE=AD+\frac{\sqrt{3}}{3}BD=AD+DF\geqslant AF$，
$\because AB=AC$，$\angle BAC=30^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=75^{\circ}$，
在$\triangle ABF$中，$\angle ABF=75^{\circ}+30^{\circ}=105^{\circ}$为钝角，
$\therefore AF \gt AB$，
$\therefore$当点$D$与点$B$重合时，$AE+\frac{\sqrt{3}}{3}CE=AD+\frac{\sqrt{3}}{3}BD=AB$为最小值，
设$AB=AC=x$，
在$Rt\triangle ABH$中，$\angle BAH=30^{\circ}$，
$\therefore BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}x$，
$\therefore AH=\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
$\therefore CH=AC-AH=\frac{2-\sqrt{3}}{2}x$，
在$Rt\triangle BCH$中，$BH^{2}+CH^{2}=BC^{2}$，
$\therefore (\frac{1}{2}x)^{2}+(\frac{2-\sqrt{3}}{2}x)^{2}=m^{2}$，
整理得：$x^{2}=(2+\sqrt{3})m^{2}=(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}m)^{2}$，
$\because x \gt 0$，
$\therefore x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}m$，
即$AB=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}m$，
$\therefore AE+\frac{\sqrt{3}}{3}CE$的最小值为$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}m$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}m$.