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八年级数学解答题一般
题目
数学课上,老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动,探究有关线段之间的关系.
问题情境:
如图11,三角形纸片ABCABC中,∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ},AC=BCAC=BC.将点CC放在直线ll上,点AA,BB位于直线ll的同侧,过点AA作AD⊥lAD\bot l于点DD.
初步探究:
(1)(1)在图11的直线ll上取点EE,使BE=BCBE=BC,得到图22,猜想线段CECE与ADAD的数量关系,并说明理由；
(2)(2)小颖又拿了一张三角形纸片MPNMPN继续进行拼图操作,其中∠MPN=90∘\angle MPN=90^{\circ},MP=NPMP=NP.小颖在图11的基础上,将三角形纸片MPNMPN的顶点PP放在直线ll上,点MM与点BB重合,过点NN作NH⊥lNH\bot l于点HH.如图33,探究线段CPCP,ADAD,NHNH之间的数量关系,并说明理由.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)CE=2AD\left(1\right)CE=2AD.
理由如下：过点BB作BF⊥lBF\bot l于点FF，
∴∠CFB=90∘\therefore \angle CFB=90^{\circ}
∵AD⊥l\because AD\bot l，
∴∠ADC=90∘\therefore \angle ADC=90^{\circ}，∠CAD+∠DCA=90∘\angle CAD+\angle DCA=90^{\circ}，
∴∠ADC=∠CFB\therefore \angle ADC=\angle CFB.

∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，
∴∠DCA+∠BCF=90∘\therefore \angle DCA+\angle BCF=90^{\circ}.
∴∠CAD=∠BCF\therefore \angle CAD=\angle BCF.
在△ACD\triangle ACD和△CBF\triangle CBF中，
{∠ADC=∠CFB∠CAD=∠BCFAC=CB\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CFB}\\{∠CAD=∠BCF}\\{AC=CB}\end{array}\right.，
∴△ACD\therefore \triangle ACD≌△CBF(AAS).\triangle CBF\left(AAS\right).
∴AD=CF\therefore AD=CF.
∵BE=BC\because BE=BC，BF⊥lBF\bot l，
∴CF=EF\therefore CF=EF.
∴CE=2CF=2AD\therefore CE=2CF=2AD.
(2)CP=AD+NH(2)CP=AD+NH.
理由如下：
过点BB作BF⊥lBF\bot l于点FF，
∴∠BFP=90∘\therefore \angle BFP=90^{\circ}，
由（1）可得：△ACD\triangle ACD≌△CBF\triangle CBF，
∴AD=CF\therefore AD=CF.
∵NH⊥l\because NH\bot l，

∴∠PHN=90∘\therefore \angle PHN=90^{\circ}，∠HNP+∠HPN=90∘\angle HNP+\angle HPN=90^{\circ}.
∴∠BFP=∠PHN\therefore \angle BFP=\angle PHN.
∵∠MPN=90∘\because \angle MPN=90^{\circ}，
∴∠HPN+∠FPB=90∘\therefore \angle HPN+\angle FPB=90^{\circ}，
∴∠HNP=∠FPB\therefore \angle HNP=\angle FPB.
在△BFP\triangle BFP和△PHN\triangle PHN中，
{∠BFP=∠PHN∠HNP=∠FPBBP=PN\left\{\begin{array}{l}{∠BFP=∠PHN}\\{∠HNP=∠FPB}\\{BP=PN}\end{array}\right.，
∴△BFP\therefore \triangle BFP≌△PHN(AAS).\triangle PHN\left(AAS\right).
∴NH=PF\therefore NH=PF.
∵CP=CF+PF\because CP=CF+PF.
∴CP=AD+NH\therefore CP=AD+NH.

解析

(1)CE=2AD\left(1\right)CE=2AD.
理由如下：过点BB作BF⊥lBF\bot l于点FF，
∴∠CFB=90∘\therefore \angle CFB=90^{\circ}
∵AD⊥l\because AD\bot l，
∴∠ADC=90∘\therefore \angle ADC=90^{\circ}，∠CAD+∠DCA=90∘\angle CAD+\angle DCA=90^{\circ}，
∴∠ADC=∠CFB\therefore \angle ADC=\angle CFB.

∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，
∴∠DCA+∠BCF=90∘\therefore \angle DCA+\angle BCF=90^{\circ}.
∴∠CAD=∠BCF\therefore \angle CAD=\angle BCF.
在△ACD\triangle ACD和△CBF\triangle CBF中，
{∠ADC=∠CFB∠CAD=∠BCFAC=CB\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CFB}\\{∠CAD=∠BCF}\\{AC=CB}\end{array}\right.，
∴△ACD\therefore \triangle ACD≌△CBF(AAS).\triangle CBF\left(AAS\right).
∴AD=CF\therefore AD=CF.
∵BE=BC\because BE=BC，BF⊥lBF\bot l，
∴CF=EF\therefore CF=EF.
∴CE=2CF=2AD\therefore CE=2CF=2AD.
(2)CP=AD+NH(2)CP=AD+NH.
理由如下：
过点BB作BF⊥lBF\bot l于点FF，
∴∠BFP=90∘\therefore \angle BFP=90^{\circ}，
由（1）可得：△ACD\triangle ACD≌△CBF\triangle CBF，
∴AD=CF\therefore AD=CF.
∵NH⊥l\because NH\bot l，

∴∠PHN=90∘\therefore \angle PHN=90^{\circ}，∠HNP+∠HPN=90∘\angle HNP+\angle HPN=90^{\circ}.
∴∠BFP=∠PHN\therefore \angle BFP=\angle PHN.
∵∠MPN=90∘\because \angle MPN=90^{\circ}，
∴∠HPN+∠FPB=90∘\therefore \angle HPN+\angle FPB=90^{\circ}，
∴∠HNP=∠FPB\therefore \angle HNP=\angle FPB.
在△BFP\triangle BFP和△PHN\triangle PHN中，
{∠BFP=∠PHN∠HNP=∠FPBBP=PN\left\{\begin{array}{l}{∠BFP=∠PHN}\\{∠HNP=∠FPB}\\{BP=PN}\end{array}\right.，
∴△BFP\therefore \triangle BFP≌△PHN(AAS).\triangle PHN\left(AAS\right).
∴NH=PF\therefore NH=PF.
∵CP=CF+PF\because CP=CF+PF.
∴CP=AD+NH\therefore CP=AD+NH.

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