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八年级数学解答题一般
题目
(1)(1)尝试探究:如图11,△ABC\triangle ABC是等边三角形,∠DAB=90∘\angle DAB=90^{\circ},AD=ABAD=AB,连接CDCD、BDBD,求∠CDB\angle CDB的度数.
(2)(2)类比延伸:如图22,△ABC\triangle ABC是等边三角形,AD=ABAD=AB,连接CDCD、BDBD,AEAE平分∠DAC\angle DAC,交BDBD于EE,交CDCD于FF,求∠CDB\angle CDB的度数.
(3)(3)拓展迁移:在（2）的条件下,试猜想AFAF,BEBE,DEDE之间有怎样的数量关系?并给出证明.
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)∵∠DAB=90∘\left(1\right)\because \angle DAB=90^{\circ}，AD=ABAD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=45∘\therefore \angle ADB=\angle ABD=45^{\circ}，
∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60∘\therefore \angle BAC=60^{\circ}，AB=ACAB=AC，
∴∠DAC=∠DAB+∠BAC=90∘+60∘=150∘\therefore \angle DAC=\angle DAB+\angle BAC=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}，AD=ACAD=AC，
∴∠ADC=12(180∘−∠DAC)=15∘\therefore \angle ADC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle DAC)=15^{\circ}，
∴∠CDB=∠ADB−∠ADC=45∘−15∘=30∘\therefore \angle CDB=\angle ADB-\angle ADC=45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}；
∴∠CDB\therefore \angle CDB的度数是30∘30^{\circ}；
实践探究：
(2)(2)设∠BAD=x\angle BAD=x，
∵AB=AC=AD\because AB=AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=12(180∘−x−60∘)=60∘−12x\therefore \angle ADC=\angle ACD=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-x-60^{\circ}\right)=60^{\circ}-\frac{1}{2}x，∠ADB=∠ABD=12(180∘−x)=90∘−12x\angle ADB=\angle ABD=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-x\right)=90^{\circ}-\frac{1}{2}x，
∴∠CDB=∠ADB−∠ADC=90∘−12x−(60∘−12x)=30∘\therefore \angle CDB=\angle ADB-\angle ADC=90^{\circ}-\frac{1}{2}x-(60^{\circ}-\frac{1}{2}x)=30^{\circ}；
(3)AF+BE=12DE(3)AF+BE=\frac{1}{2}DE，理由如下：
连接CECE，在CECE上取一点RR，使得AR=AEAR=AE，如图：

∵AD=AC\because AD=AC，AEAE平分∠DAC\angle DAC，
∴AE\therefore AE是DCDC的中垂线，∠DAE=∠CAE\angle DAE=\angle CAE，
∴DE=CE\therefore DE=CE，CD⊥AECD\bot AE，
∴∠AED=60∘\therefore \angle AED=60^{\circ}，
在△AED\triangle AED和△AEC\triangle AEC中，
{AD=AC∠DAE=∠CAEAE=AE\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}\\{∠DAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.，
∴△AED\therefore \triangle AED≌△AEC(SAS)\triangle AEC\left(SAS\right)，
∴∠AED=∠AEC=60∘\therefore \angle AED=\angle AEC=60^{\circ}，
∵AE=AR\because AE=AR，
∴△AER\therefore \triangle AER时等边三角形，
∴AE=ER\therefore AE=ER，∠EAR=60∘\angle EAR=60^{\circ}，
∴∠EAR=∠BAC=60∘\therefore \angle EAR=\angle BAC=60^{\circ}，
∴∠EAB=∠RAC\therefore \angle EAB=\angle RAC，
∵AE=AR\because AE=AR，AB=ACAB=AC，
∴△AEB\therefore \triangle AEB≌△ARC(SAS)\triangle ARC\left(SAS\right)，
∴BE=CR\therefore BE=CR，
∵∠DFE=90∘\because \angle DFE=90^{\circ}，∠EDF=30∘\angle EDF=30^{\circ}，
∴DE=2EF\therefore DE=2EF，
∵AE=ER\because AE=ER，
∴AF+12DE=DE−BE\therefore AF+\frac{1}{2}DE=DE-BE，
∴AF+BE=12DE\therefore AF+BE=\frac{1}{2}DE.

解析

(1)∵∠DAB=90∘\left(1\right)\because \angle DAB=90^{\circ}，AD=ABAD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=45∘\therefore \angle ADB=\angle ABD=45^{\circ}，
∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60∘\therefore \angle BAC=60^{\circ}，AB=ACAB=AC，
∴∠DAC=∠DAB+∠BAC=90∘+60∘=150∘\therefore \angle DAC=\angle DAB+\angle BAC=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}，AD=ACAD=AC，
∴∠ADC=12(180∘−∠DAC)=15∘\therefore \angle ADC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle DAC)=15^{\circ}，
∴∠CDB=∠ADB−∠ADC=45∘−15∘=30∘\therefore \angle CDB=\angle ADB-\angle ADC=45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}；
∴∠CDB\therefore \angle CDB的度数是30∘30^{\circ}；
实践探究：
(2)(2)设∠BAD=x\angle BAD=x，
∵AB=AC=AD\because AB=AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=12(180∘−x−60∘)=60∘−12x\therefore \angle ADC=\angle ACD=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-x-60^{\circ}\right)=60^{\circ}-\frac{1}{2}x，∠ADB=∠ABD=12(180∘−x)=90∘−12x\angle ADB=\angle ABD=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-x\right)=90^{\circ}-\frac{1}{2}x，
∴∠CDB=∠ADB−∠ADC=90∘−12x−(60∘−12x)=30∘\therefore \angle CDB=\angle ADB-\angle ADC=90^{\circ}-\frac{1}{2}x-(60^{\circ}-\frac{1}{2}x)=30^{\circ}；
(3)AF+BE=12DE(3)AF+BE=\frac{1}{2}DE，理由如下：
连接CECE，在CECE上取一点RR，使得AR=AEAR=AE，如图：

∵AD=AC\because AD=AC，AEAE平分∠DAC\angle DAC，
∴AE\therefore AE是DCDC的中垂线，∠DAE=∠CAE\angle DAE=\angle CAE，
∴DE=CE\therefore DE=CE，CD⊥AECD\bot AE，
∴∠AED=60∘\therefore \angle AED=60^{\circ}，
在△AED\triangle AED和△AEC\triangle AEC中，
{AD=AC∠DAE=∠CAEAE=AE\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}\\{∠DAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.，
∴△AED\therefore \triangle AED≌△AEC(SAS)\triangle AEC\left(SAS\right)，
∴∠AED=∠AEC=60∘\therefore \angle AED=\angle AEC=60^{\circ}，
∵AE=AR\because AE=AR，
∴△AER\therefore \triangle AER时等边三角形，
∴AE=ER\therefore AE=ER，∠EAR=60∘\angle EAR=60^{\circ}，
∴∠EAR=∠BAC=60∘\therefore \angle EAR=\angle BAC=60^{\circ}，
∴∠EAB=∠RAC\therefore \angle EAB=\angle RAC，
∵AE=AR\because AE=AR，AB=ACAB=AC，
∴△AEB\therefore \triangle AEB≌△ARC(SAS)\triangle ARC\left(SAS\right)，
∴BE=CR\therefore BE=CR，
∵∠DFE=90∘\because \angle DFE=90^{\circ}，∠EDF=30∘\angle EDF=30^{\circ}，
∴DE=2EF\therefore DE=2EF，
∵AE=ER\because AE=ER，
∴AF+12DE=DE−BE\therefore AF+\frac{1}{2}DE=DE-BE，
∴AF+BE=12DE\therefore AF+BE=\frac{1}{2}DE.

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