$(1)$尝试探究:如图$1$,$\triangle ABC$是等边三角形,$\angle DAB=90^{\circ}$,$AD=AB$,连接$CD$、$BD$,求$\angle CDB$的度数.
$(2)$类比延伸:如图$2$,$\triangle ABC$是等边三角形,$AD=AB$,连接$CD$、$BD$,$AE$平分$\angle DAC$,交$BD$于$E$,交$CD$于$F$,求$\angle CDB$的度数.
$(3)$拓展迁移:在（2）的条件下,试猜想$AF$,$BE$,$DE$之间有怎样的数量关系?并给出证明.