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八年级数学填空题一般
题目
如图,在△ABC\triangle ABC中,∠ABC\angle ABC为锐角,点DD为直线BCBC上一动点,以ADAD为直角边且在ADAD的右侧作等腰直角三角形ADEADE,∠DAE=90∘\angle DAE=90^{\circ},AD=AEAD=AE.
(1)(1)如果AB=ACAB=AC,∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}.
①当点DD在线段BCBC上时,如图11,线段CECE、BDBD的位置关系为______,数量关系为______
②当点DD在线段BCBC的延长线上时,如图22,①中的结论是否仍然成立,请说明理由.
(2)(2)如图33,如果AB≠ACAB\neq AC,∠BAC≠90∘\angle BAC\neq 90^{\circ},点DD在线段BCBC上运动.探究:当∠ACB\angle ACB多少度时,CE⊥BCCE\bot BC?请说明理由.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)CE\left(1\right)CE与BDBD位置关系是CE⊥BDCE\bot BD，数量关系是CE=BDCE=BD.
理由：如图11，∵∠BAD=90∘−∠DAC\because \angle BAD=90^{\circ}-\angle DAC，∠CAE=90∘−∠DAC\angle CAE=90^{\circ}-\angle DAC，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE.
又BA=CABA=CA，AD=AEAD=AE，
∴△ABD\therefore \triangle ABD≌△ACE(SAS)\triangle ACE \left(SAS\right)
∴∠ACE=∠B=45∘\therefore \angle ACE=\angle B=45^{\circ}且CE=BDCE=BD.
∵∠ACB=∠B=45∘\because \angle ACB=\angle B=45^{\circ}，
∴∠ECB=45∘+45∘=90∘\therefore \angle ECB=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}，即CE⊥BDCE\bot BD.
故答案为：垂直，相等；

②都成立.
∵∠BAC=∠DAE=90∘\because \angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC\therefore \angle BAC+\angle DAC=\angle DAE+\angle DAC，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
在△DAB\triangle DAB与△EAC\triangle EAC中，
{AD=AE∠BAD=∠CAEAB=AC\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.
∴△DAB\therefore \triangle DAB≌△EAC(SAS)\triangle EAC\left(SAS\right)，
∴CE=BD\therefore CE=BD，∠B=∠ACE\angle B=\angle ACE，
∴∠ACB+∠ACE=90∘\therefore \angle ACB+\angle ACE=90^{\circ}，即CE⊥BDCE\bot BD；

(2)(2)当∠ACB=45∘\angle ACB=45^{\circ}时，CE⊥BD(CE\bot BD(如图2)2).
理由：过点AA作AG⊥ACAG\bot AC交CBCB的延长线于点GG，
则∠GAC=90∘\angle GAC=90^{\circ}，
∵∠ACB=45∘\because \angle ACB=45^{\circ}，∠AGC=90∘−∠ACB\angle AGC=90^{\circ}-\angle ACB，
∴∠AGC=90∘−45∘=45∘\therefore \angle AGC=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}，
∴∠ACB=∠AGC=45∘\therefore \angle ACB=\angle AGC=45^{\circ}，
∴AC=AG\therefore AC=AG，…(8分)\ldots (8分)
在△GAD\triangle GAD与△CAE\triangle CAE中，
{AC=AG∠DAG=∠EACAD=AE\left\{\begin{array}{l}{AC=AG}\\{∠DAG=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.
∴△GAD\therefore \triangle GAD≌△CAE(SAS)\triangle CAE\left(SAS\right)，
∴∠ACE=∠AGC=45∘\therefore \angle ACE=\angle AGC=45^{\circ}，
∠BCE=∠ACB+∠ACE=45∘+45∘=90∘\angle BCE=\angle ACB+\angle ACE=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}，即CE⊥BCCE\bot BC.

解析

(1)CE\left(1\right)CE与BDBD位置关系是CE⊥BDCE\bot BD，数量关系是CE=BDCE=BD.
理由：如图11，∵∠BAD=90∘−∠DAC\because \angle BAD=90^{\circ}-\angle DAC，∠CAE=90∘−∠DAC\angle CAE=90^{\circ}-\angle DAC，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE.
又BA=CABA=CA，AD=AEAD=AE，
∴△ABD\therefore \triangle ABD≌△ACE(SAS)\triangle ACE \left(SAS\right)
∴∠ACE=∠B=45∘\therefore \angle ACE=\angle B=45^{\circ}且CE=BDCE=BD.
∵∠ACB=∠B=45∘\because \angle ACB=\angle B=45^{\circ}，
∴∠ECB=45∘+45∘=90∘\therefore \angle ECB=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}，即CE⊥BDCE\bot BD.
故答案为：垂直，相等；

②都成立.
∵∠BAC=∠DAE=90∘\because \angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC\therefore \angle BAC+\angle DAC=\angle DAE+\angle DAC，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
在△DAB\triangle DAB与△EAC\triangle EAC中，
{AD=AE∠BAD=∠CAEAB=AC\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.
∴△DAB\therefore \triangle DAB≌△EAC(SAS)\triangle EAC\left(SAS\right)，
∴CE=BD\therefore CE=BD，∠B=∠ACE\angle B=\angle ACE，
∴∠ACB+∠ACE=90∘\therefore \angle ACB+\angle ACE=90^{\circ}，即CE⊥BDCE\bot BD；

(2)(2)当∠ACB=45∘\angle ACB=45^{\circ}时，CE⊥BD(CE\bot BD(如图2)2).
理由：过点AA作AG⊥ACAG\bot AC交CBCB的延长线于点GG，
则∠GAC=90∘\angle GAC=90^{\circ}，
∵∠ACB=45∘\because \angle ACB=45^{\circ}，∠AGC=90∘−∠ACB\angle AGC=90^{\circ}-\angle ACB，
∴∠AGC=90∘−45∘=45∘\therefore \angle AGC=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}，
∴∠ACB=∠AGC=45∘\therefore \angle ACB=\angle AGC=45^{\circ}，
∴AC=AG\therefore AC=AG，…(8分)\ldots (8分)
在△GAD\triangle GAD与△CAE\triangle CAE中，
{AC=AG∠DAG=∠EACAD=AE\left\{\begin{array}{l}{AC=AG}\\{∠DAG=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.
∴△GAD\therefore \triangle GAD≌△CAE(SAS)\triangle CAE\left(SAS\right)，
∴∠ACE=∠AGC=45∘\therefore \angle ACE=\angle AGC=45^{\circ}，
∠BCE=∠ACB+∠ACE=45∘+45∘=90∘\angle BCE=\angle ACB+\angle ACE=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}，即CE⊥BCCE\bot BC.

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