B

①$3$是腰长时，三角形的三边分别为$3$、$3$、$4$，
能组成三角形，周长$=3+3+4=10$，
②$3$是底边长时，三角形的三边分别为$3$、$4$、$4$，
能组成三角形，周长$=3+4+4=11$，
综上所述，这个等腰三角形的周长是$10$或$11$.
故选：$B$.