（1）设底边长为$x$，
①$BC+BD=15$时，$BD=15-x$，
所以，$2\left(15-x\right)+\left(15-x\right)=6$，
解得$x=13$，
此时，三角形的三边为：$13$，$4$，$4(不能构成三角形，舍去)$；
②$BC+BD=6$时，$BD=6-x$，
所以，$2\left(6-x\right)+\left(6-x\right)=15$，
解得$x=1$，
此时，三角形的三边为：$1$，$10$，$10$，
$\therefore$三角形的三边长分别为：$1$，$10$，$10$；
$(2)$设两个多边形的边数分别是$x$和$2x$，
则$\left(x-2\right)\cdot 180+\left(2x-2\right)\cdot 180=1440$，
解之得$x=4$，
$2x=8$，
则两个多边形的边数分别为$4$和$8$.

（1）设底边长为$x$，
①$BC+BD=15$时，$BD=15-x$，
所以，$2\left(15-x\right)+\left(15-x\right)=6$，
解得$x=13$，
此时，三角形的三边为：$13$，$4$，$4(不能构成三角形，舍去)$；
②$BC+BD=6$时，$BD=6-x$，
所以，$2\left(6-x\right)+\left(6-x\right)=15$，
解得$x=1$，
此时，三角形的三边为：$1$，$10$，$10$，
$\therefore$三角形的三边长分别为：$1$，$10$，$10$；
$(2)$设两个多边形的边数分别是$x$和$2x$，
则$\left(x-2\right)\cdot 180+\left(2x-2\right)\cdot 180=1440$，
解之得$x=4$，
$2x=8$，
则两个多边形的边数分别为$4$和$8$.