$(1)$证明：$\because \triangle ABC$与$\triangle DCP$都是等边三角形，
$\therefore AC=BC$，$CD=CP$，$\angle ACB=\angle DCP=60^{\circ}$，
$\because \angle ACB+\angle ACD+\angle DCP=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ACD=60^{\circ}$，$\angle ACB+\angle ACD=\angle ACD+\angle DCP$，
即$\angle BCD=\angle ACP$，
在$\triangle BCD$和$\triangle ACP$中，
$\left\{\begin{array}{l}BC=AC\\∠BCD=∠ACP\\ CD=CP\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BCD$≌$\triangle ACP\left(SAS\right)$，
$\therefore BD=AP$；
$(2)$证明：过点$C$作$CW\bot PA$于$W$，$CR\bot BD$于$R$，设$BD$交$AC$于$O$，如图$1$，

$\because \triangle BCD$≌$\triangle ACP$，
$\therefore \angle CBD=\angle CAP$，
$\because CW\bot AP$，$CR\bot BD$，
$\therefore \angle BRC=\angle AWC$，$AC=BC$，
$\therefore \triangle BCR$≌$\triangle AWC\left(AAS\right)$，
$\therefore CW=CR$，
$\therefore EC$平分$\angle BEP$；
$(3)$$BE=3PE$，理由如下：
在$EB$上取一点$L$，使得$EL=EA$，连接$AL$，如图$2$，

$\because \angle AOE=\angle BOC$，
$\therefore \angle AEO=\angle BCO=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BEP=120^{\circ}$，
$\because CE$平分$\angle BEP$，
$\therefore \angle CEB=\angle CEP=\angle PED=60^{\circ}$，
$\because AE=EL$，
$\therefore \triangle AEL$是等边三角形，
同理（1）可证$\triangle BAL$≌$\triangle CAE$，
$\therefore EC=BL$，
设$AE=a$，$DE=b$，$CE=c$，
$\therefore BE=EL+BL=AE+EC=a+c$，
同法可证$EP=b+c$，
$\because BP=4CP$，
$\therefore BC=3CP$，
$\because \frac{{S}_{△BEC}}{{S}_{△ECP}}=\frac{\frac{1}{2}•BE•CR}{\frac{1}{2}EP•CW}=\frac{BC}{CP}=3$，
$\therefore BE=3PE$.

$(1)$证明：$\because \triangle ABC$与$\triangle DCP$都是等边三角形，
$\therefore AC=BC$，$CD=CP$，$\angle ACB=\angle DCP=60^{\circ}$，
$\because \angle ACB+\angle ACD+\angle DCP=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ACD=60^{\circ}$，$\angle ACB+\angle ACD=\angle ACD+\angle DCP$，
即$\angle BCD=\angle ACP$，
在$\triangle BCD$和$\triangle ACP$中，
$\left\{\begin{array}{l}BC=AC\\∠BCD=∠ACP\\ CD=CP\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BCD$≌$\triangle ACP\left(SAS\right)$，
$\therefore BD=AP$；
$(2)$证明：过点$C$作$CW\bot PA$于$W$，$CR\bot BD$于$R$，设$BD$交$AC$于$O$，如图$1$，

$\because \triangle BCD$≌$\triangle ACP$，
$\therefore \angle CBD=\angle CAP$，
$\because CW\bot AP$，$CR\bot BD$，
$\therefore \angle BRC=\angle AWC$，$AC=BC$，
$\therefore \triangle BCR$≌$\triangle AWC\left(AAS\right)$，
$\therefore CW=CR$，
$\therefore EC$平分$\angle BEP$；
$(3)$$BE=3PE$，理由如下：
在$EB$上取一点$L$，使得$EL=EA$，连接$AL$，如图$2$，

$\because \angle AOE=\angle BOC$，
$\therefore \angle AEO=\angle BCO=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BEP=120^{\circ}$，
$\because CE$平分$\angle BEP$，
$\therefore \angle CEB=\angle CEP=\angle PED=60^{\circ}$，
$\because AE=EL$，
$\therefore \triangle AEL$是等边三角形，
同理（1）可证$\triangle BAL$≌$\triangle CAE$，
$\therefore EC=BL$，
设$AE=a$，$DE=b$，$CE=c$，
$\therefore BE=EL+BL=AE+EC=a+c$，
同法可证$EP=b+c$，
$\because BP=4CP$，
$\therefore BC=3CP$，
$\because \frac{{S}_{△BEC}}{{S}_{△ECP}}=\frac{\frac{1}{2}•BE•CR}{\frac{1}{2}EP•CW}=\frac{BC}{CP}=3$，
$\therefore BE=3PE$.