如图,已知$\triangle ABC$的面积是$60$,请完成下列问题:

$(1)$如图$1$,$\triangle ABC$中,若$AD$是$BC$边上的中线,则$\triangle ABD$的面积______$\triangle ACD$的面积（填"$\gt$"、"$\lt$"或"$=$"）；
$(2)$如图$2$,若$CD$、$BE$分别是$\triangle ABC$的$AB$、$AC$边上的中线,求四边形$ADOE$的面积可以用如下方法:连接$AO$,设$S_{\triangle ADO}=x$,$S_{\triangle AEO}=y$,联想第一小问结论,通过列方程组来求四边形$ADOE$的面积；
$(3)$如图$3$,$AD:DB=1:3$,$CE:AE=2:3$,请求出四边形$ADOE$的面积.