$(1)$如图，过点$D$作$DG\bot BC$于点$G$，以点$G$为圆心，$DG$的长为半径画弧，交$DG$的延长线于点$E$，
则点$E$即为所求.

$(2)$证明：$\because$点$D$与点$E$关于直线$BC$的对称，
$\therefore BC$为线段$DE$的垂直平分线，
$\therefore BD=BE$，$CD=CE$，
$\because BC=BC$，
$\therefore \triangle BCD$≌$\triangle BCE\left(SSS\right)$，
$\therefore \angle BEC=\angle BDC=120^{\circ}$，
$\therefore \angle CEF=60^{\circ}$.
$\because EF=EC$，
$\therefore \triangle CEF$是等边三角形.

$(1)$如图，过点$D$作$DG\bot BC$于点$G$，以点$G$为圆心，$DG$的长为半径画弧，交$DG$的延长线于点$E$，
则点$E$即为所求.

$(2)$证明：$\because$点$D$与点$E$关于直线$BC$的对称，
$\therefore BC$为线段$DE$的垂直平分线，
$\therefore BD=BE$，$CD=CE$，
$\because BC=BC$，
$\therefore \triangle BCD$≌$\triangle BCE\left(SSS\right)$，
$\therefore \angle BEC=\angle BDC=120^{\circ}$，
$\therefore \angle CEF=60^{\circ}$.
$\because EF=EC$，
$\therefore \triangle CEF$是等边三角形.