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八年级数学解答题一般
题目
如图,ADAD是等边△ABC\triangle ABC的高,AB=6AB=6,BM⊥ABBM\bot AB,点EE在射线ADAD上运动,将一块三角板60∘60^{\circ}角的顶点放在点CC处,让其一边经过点EE,另一边与射线BMBM交于点F(CFF(CF在CECE的下方）,连接EFEF.
(1)(1)试判断△ECF\triangle ECF的形状,并证明你的结论；
(2)(2)连接DFDF,求线段DFDF的最小值；
(3)(3)在点EE的运动过程中,请你直接写出∠BCE\angle BCE与∠BFC\angle BFC之间的关系.
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)△ECF\left(1\right)\triangle ECF是等边三角形；
证明：∵AD\because AD是等边△ABC\triangle ABC的高，AB=6AB=6，BM⊥ABBM\bot AB，
∴∠ABC=∠BAC=60∘\therefore \angle ABC=\angle BAC=60^{\circ}，∠DAC=12∠BAC=30°∠DAC=\frac{1}{2}∠BAC=30°，∠ABM=90∘\angle ABM=90^{\circ}，
∴∠CBF=90∘−∠ABC=90∘−60∘=30∘\therefore \angle CBF=90^{\circ}-\angle ABC=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}，
∴∠FBC=∠EAC\therefore \angle FBC=\angle EAC，
∵∠ACB=∠ECF=60∘\because \angle ACB=\angle ECF=60^{\circ}，
∴∠ACE=∠BCF\therefore \angle ACE=\angle BCF，
在△ACE\triangle ACE和△BCF\triangle BCF中，
{∠ACE=∠BCFAC=BC∠EAC=∠FBC\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCF}\\{AC=BC}\\{∠EAC=∠FBC}\end{array}\right.，
∴△ACE\therefore \triangle ACE≌△BCF(ASA)\triangle BCF\left(ASA\right)，
∴EC=CF\therefore EC=CF，
又∵∠ECF=60∘\because \angle ECF=60^{\circ}，
∴△ECF\therefore \triangle ECF是等边三角形；
(2)∵(2)\because点FF在射线BMBM上，
∴\therefore当DF⊥BMDF\bot BM时，DFDF取得最小值，
又∠CBF=30∘\angle CBF=30^{\circ}，BC=AB=6BC=AB=6，
∴\therefore当DF⊥BMDF\bot BM时，DF=12BD=12×12BC=14×6=32DF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BC=\frac{1}{4}×6=\frac{3}{2}；
(3)∠BCE=∠BFC(3)\angle BCE=\angle BFC；理由如下：
∵△ECF\because \triangle ECF是等边三角形；
∴∠EFC=∠ECF=60∘\therefore \angle EFC=\angle ECF=60^{\circ}，
又∵∠CBF=30∘\because \angle CBF=30^{\circ}，
∴∠BFC=180∘−∠CBF−∠BCF=180∘−30∘−(60∘−∠BCE∘)=90∘+∠BCE\therefore \angle BFC=180^{\circ}-\angle CBF-\angle BCF=180^{\circ}-30^{\circ}-\left(60^{\circ}-\angle BCE^{\circ}\right)=90^{\circ}+\angle BCE，
即∠BFC−∠BCE=90∘\angle BFC-\angle BCE=90^{\circ}.

解析

(1)△ECF\left(1\right)\triangle ECF是等边三角形；
证明：∵AD\because AD是等边△ABC\triangle ABC的高，AB=6AB=6，BM⊥ABBM\bot AB，
∴∠ABC=∠BAC=60∘\therefore \angle ABC=\angle BAC=60^{\circ}，∠DAC=12∠BAC=30°∠DAC=\frac{1}{2}∠BAC=30°，∠ABM=90∘\angle ABM=90^{\circ}，
∴∠CBF=90∘−∠ABC=90∘−60∘=30∘\therefore \angle CBF=90^{\circ}-\angle ABC=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}，
∴∠FBC=∠EAC\therefore \angle FBC=\angle EAC，
∵∠ACB=∠ECF=60∘\because \angle ACB=\angle ECF=60^{\circ}，
∴∠ACE=∠BCF\therefore \angle ACE=\angle BCF，
在△ACE\triangle ACE和△BCF\triangle BCF中，
{∠ACE=∠BCFAC=BC∠EAC=∠FBC\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCF}\\{AC=BC}\\{∠EAC=∠FBC}\end{array}\right.，
∴△ACE\therefore \triangle ACE≌△BCF(ASA)\triangle BCF\left(ASA\right)，
∴EC=CF\therefore EC=CF，
又∵∠ECF=60∘\because \angle ECF=60^{\circ}，
∴△ECF\therefore \triangle ECF是等边三角形；
(2)∵(2)\because点FF在射线BMBM上，
∴\therefore当DF⊥BMDF\bot BM时，DFDF取得最小值，
又∠CBF=30∘\angle CBF=30^{\circ}，BC=AB=6BC=AB=6，
∴\therefore当DF⊥BMDF\bot BM时，DF=12BD=12×12BC=14×6=32DF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BC=\frac{1}{4}×6=\frac{3}{2}；
(3)∠BCE=∠BFC(3)\angle BCE=\angle BFC；理由如下：
∵△ECF\because \triangle ECF是等边三角形；
∴∠EFC=∠ECF=60∘\therefore \angle EFC=\angle ECF=60^{\circ}，
又∵∠CBF=30∘\because \angle CBF=30^{\circ}，
∴∠BFC=180∘−∠CBF−∠BCF=180∘−30∘−(60∘−∠BCE∘)=90∘+∠BCE\therefore \angle BFC=180^{\circ}-\angle CBF-\angle BCF=180^{\circ}-30^{\circ}-\left(60^{\circ}-\angle BCE^{\circ}\right)=90^{\circ}+\angle BCE，
即∠BFC−∠BCE=90∘\angle BFC-\angle BCE=90^{\circ}.

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