如图,$AD$是等边$\triangle ABC$的高,$AB=6$,$BM\bot AB$,点$E$在射线$AD$上运动,将一块三角板$60^{\circ}$角的顶点放在点$C$处,让其一边经过点$E$,另一边与射线$BM$交于点$F(CF$在$CE$的下方）,连接$EF$.
$(1)$试判断$\triangle ECF$的形状,并证明你的结论；
$(2)$连接$DF$,求线段$DF$的最小值；
$(3)$在点$E$的运动过程中,请你直接写出$\angle BCE$与$\angle BFC$之间的关系.