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九年级数学解答题一般
题目
四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形,如果这两个三角形相似（不全等）,我们就把这条对角线称为这个四边形的"理想对角线".

(1)(1)如图11,在四边形ABCDABCD中,∠ABC=70∘\angle ABC=70^{\circ},AB=AD,ADAB=AD,AD∥BC,BC,当∠ADC=145∘\angle ADC=145^{\circ}时.求证:对角线BDBD是四边形ABCDABCD的"理想对角线".
(2)(2)如图22,四边形ABCDABCD中,ACAC平分∠BCD\angle BCD,当∠BCD\angle BCD与∠BAD\angle BAD满足什么关系时,对角线ACAC是四边形ABCDABCD的"理想对角线",请说明理由.
知识点：相似图形章节：第24章 相似三角形 / 第1节 相似形 / 24.1 放缩与相似形

答案与解析

答案

(1)(1)证明：如图11中，

∵AB=AD\because AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB\therefore \angle ABD=\angle ADB，
∵AD\because AD∥BCBC，
∴∠ADB=∠DBC\therefore \angle ADB=\angle DBC，
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=35∘\therefore \angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC=35^{\circ}，
∵∠ADC+∠C=180∘\because \angle ADC+\angle C=180^{\circ}，∠ADC=145∘\angle ADC=145^{\circ}，
∴∠C=35∘\therefore \angle C=35^{\circ}，
∴∠ADB=∠ABD=∠DBC=∠C=35∘\therefore \angle ADB=\angle ABD=\angle DBC=\angle C=35^{\circ}，
∴△ABD\therefore \triangle ABD∽△DBC\triangle DBC，
∴BD\therefore BD是四边形ABCDABCD的“理想对角线”.

(2)(2)如图22中，当∠BAD+12∠BCD=180∘\angle BAD+\frac{1}{2}\angle BCD=180^{\circ}时，对角线ACAC是四边形ABCDABCD的“理想对角线”.

理由：∵AC\because AC平分∠BCD\angle BCD，
∴∠ACB=∠ACD\therefore \angle ACB=\angle ACD，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180∘\because \angle B+\angle ACB+\angle BAC=180^{\circ}，∠BAD+12∠BCD=∠BAC+∠CAD+∠ACB=180∘\angle BAD+\frac{1}{2}\angle BCD=\angle BAC+\angle CAD+\angle ACB=180^{\circ}，
∴∠DAC=∠B\therefore \angle DAC=\angle B，
∴△ACB\therefore \triangle ACB∽△DCA\triangle DCA，
∴\therefore对角线ACAC是四边形ABCDABCD的“理想对角线”.

解析

(1)(1)证明：如图11中，

∵AB=AD\because AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB\therefore \angle ABD=\angle ADB，
∵AD\because AD∥BCBC，
∴∠ADB=∠DBC\therefore \angle ADB=\angle DBC，
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=35∘\therefore \angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC=35^{\circ}，
∵∠ADC+∠C=180∘\because \angle ADC+\angle C=180^{\circ}，∠ADC=145∘\angle ADC=145^{\circ}，
∴∠C=35∘\therefore \angle C=35^{\circ}，
∴∠ADB=∠ABD=∠DBC=∠C=35∘\therefore \angle ADB=\angle ABD=\angle DBC=\angle C=35^{\circ}，
∴△ABD\therefore \triangle ABD∽△DBC\triangle DBC，
∴BD\therefore BD是四边形ABCDABCD的“理想对角线”.

(2)(2)如图22中，当∠BAD+12∠BCD=180∘\angle BAD+\frac{1}{2}\angle BCD=180^{\circ}时，对角线ACAC是四边形ABCDABCD的“理想对角线”.

理由：∵AC\because AC平分∠BCD\angle BCD，
∴∠ACB=∠ACD\therefore \angle ACB=\angle ACD，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180∘\because \angle B+\angle ACB+\angle BAC=180^{\circ}，∠BAD+12∠BCD=∠BAC+∠CAD+∠ACB=180∘\angle BAD+\frac{1}{2}\angle BCD=\angle BAC+\angle CAD+\angle ACB=180^{\circ}，
∴∠DAC=∠B\therefore \angle DAC=\angle B，
∴△ACB\therefore \triangle ACB∽△DCA\triangle DCA，
∴\therefore对角线ACAC是四边形ABCDABCD的“理想对角线”.

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