$\left(1\right)\because AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB$，
$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABD=\angle CBD=\frac{1}{2}\angle ABC$，
$\because BD$是$\triangle ABC$的一条内好线，
$\therefore \triangle ABD$和$\triangle BDC$是等腰三角形，
$\therefore BD=BC=AD$，
$\therefore \angle A=\angle ABD$，$\angle BDC=\angle C$，
$\because \angle BDC=\angle A+\angle ABD=2\angle A$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=2\angle A$，
$\because \angle A+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}$，
$\therefore \angle A=36^{\circ}$，
$\therefore \angle BDC=2\angle A=72^{\circ}$，
故答案为：$72$；
$(2)\because DE$是线段$AC$的垂直平分线，
$\therefore EA=EC$，即$\triangle EAC$是等腰三角形，
$\therefore \angle EAC=\angle C$，
$\therefore \angle AEB=\angle EAC+\angle C=2\angle C$，
$\because \angle B=2\angle C$，
$\therefore \angle AEB=\angle B$，即$\triangle EAB$是等腰三角形，
$\therefore AE$是$ABC$的一条内好线；
$(3)$设$BE$是$\triangle ABC$的内好线，
①如图$3$，

当$AE=BE$时，则$\angle A=\angle EBA=24^{\circ}$，
$\therefore \angle CEB=\angle A+\angle EBA=48^{\circ}$，
若$BC=BE$时，则$\angle C=\angle CEB=48^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=180^{\circ}-\angle A-\angle C=108^{\circ}$，
若$BC=CE$时，则$\angle CBE=\angle CEB=48^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=\angle ABE+\angle CBE=72^{\circ} \lt 90^{\circ}(不合题意舍去)$，
若$CE=BE$时，则$\angle C=\angle CBE=\frac{180°-48°}{2}=66^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=\angle ABE+\angle CBE=90^{\circ}(不合题意舍去)$，
②如图$4$，当$AE=AB$时，则$\angle AEB=\angle AEB=\frac{180°-24}{2}=78^{\circ}$，

$\therefore \angle CEB=\angle A+\angle ABE=102^{\circ} \gt 90^{\circ}$，
$\because CE=BE$，
$\therefore \angle C=\angle CBE=39^{\circ}$，
$\therefore \angle CBA=\angle ABE+\angle CBE=117^{\circ}$，
③如图$5$，当$AB=BE$时，则$\angle A=\angle AEB=24^{\circ}$，

$\therefore \angle ABE=132^{\circ}$，$\angle BEC=156^{\circ} \gt 0$，
$\because BE=CE$，
$\therefore \angle C=\angle CBE=12^{\circ}$，
$\therefore \angle CBA=\angle ABE+\angle CBE=144^{\circ}$，
设$CE$是$\triangle ABC$的内好线，

当$CE=AE$时，则$\angle A=\angle ACE=24^{\circ}$，
$\because BC=BE$，
$\therefore \angle BEC=\angle BCE=\angle A+\angle ACE=48^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=84^{\circ} \lt 0(不合题意舍去)$，
设$AE$是$\triangle ABC$的内好线，

$\because CE=AE$，
$\therefore \angle C=\angle CAE$，
$\therefore \angle AEB=\angle C+\angle CAE=2\angle CAE$，
$\because BE=AB$，
$\therefore \angle BAE=\angle AEB=2\angle CAE$，
$\because \angle BAC=24^{\circ}=3\angle CAE$，
$\therefore \angle CAE=8^{\circ}$，$\angle BAE=16^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=148^{\circ}$，
综上所述：$\angle ABC=108^{\circ}$或$117^{\circ}$或$144^{\circ}$或$148^{\circ}$.
故答案为：$108^{\circ}$或$117^{\circ}$或$144^{\circ}$或$148^{\circ}$.

$\left(1\right)\because AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB$，
$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABD=\angle CBD=\frac{1}{2}\angle ABC$，
$\because BD$是$\triangle ABC$的一条内好线，
$\therefore \triangle ABD$和$\triangle BDC$是等腰三角形，
$\therefore BD=BC=AD$，
$\therefore \angle A=\angle ABD$，$\angle BDC=\angle C$，
$\because \angle BDC=\angle A+\angle ABD=2\angle A$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=2\angle A$，
$\because \angle A+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}$，
$\therefore \angle A=36^{\circ}$，
$\therefore \angle BDC=2\angle A=72^{\circ}$，
故答案为：$72$；
$(2)\because DE$是线段$AC$的垂直平分线，
$\therefore EA=EC$，即$\triangle EAC$是等腰三角形，
$\therefore \angle EAC=\angle C$，
$\therefore \angle AEB=\angle EAC+\angle C=2\angle C$，
$\because \angle B=2\angle C$，
$\therefore \angle AEB=\angle B$，即$\triangle EAB$是等腰三角形，
$\therefore AE$是$ABC$的一条内好线；
$(3)$设$BE$是$\triangle ABC$的内好线，
①如图$3$，

当$AE=BE$时，则$\angle A=\angle EBA=24^{\circ}$，
$\therefore \angle CEB=\angle A+\angle EBA=48^{\circ}$，
若$BC=BE$时，则$\angle C=\angle CEB=48^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=180^{\circ}-\angle A-\angle C=108^{\circ}$，
若$BC=CE$时，则$\angle CBE=\angle CEB=48^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=\angle ABE+\angle CBE=72^{\circ} \lt 90^{\circ}(不合题意舍去)$，
若$CE=BE$时，则$\angle C=\angle CBE=\frac{180°-48°}{2}=66^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=\angle ABE+\angle CBE=90^{\circ}(不合题意舍去)$，
②如图$4$，当$AE=AB$时，则$\angle AEB=\angle AEB=\frac{180°-24}{2}=78^{\circ}$，

$\therefore \angle CEB=\angle A+\angle ABE=102^{\circ} \gt 90^{\circ}$，
$\because CE=BE$，
$\therefore \angle C=\angle CBE=39^{\circ}$，
$\therefore \angle CBA=\angle ABE+\angle CBE=117^{\circ}$，
③如图$5$，当$AB=BE$时，则$\angle A=\angle AEB=24^{\circ}$，

$\therefore \angle ABE=132^{\circ}$，$\angle BEC=156^{\circ} \gt 0$，
$\because BE=CE$，
$\therefore \angle C=\angle CBE=12^{\circ}$，
$\therefore \angle CBA=\angle ABE+\angle CBE=144^{\circ}$，
设$CE$是$\triangle ABC$的内好线，

当$CE=AE$时，则$\angle A=\angle ACE=24^{\circ}$，
$\because BC=BE$，
$\therefore \angle BEC=\angle BCE=\angle A+\angle ACE=48^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=84^{\circ} \lt 0(不合题意舍去)$，
设$AE$是$\triangle ABC$的内好线，

$\because CE=AE$，
$\therefore \angle C=\angle CAE$，
$\therefore \angle AEB=\angle C+\angle CAE=2\angle CAE$，
$\because BE=AB$，
$\therefore \angle BAE=\angle AEB=2\angle CAE$，
$\because \angle BAC=24^{\circ}=3\angle CAE$，
$\therefore \angle CAE=8^{\circ}$，$\angle BAE=16^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=148^{\circ}$，
综上所述：$\angle ABC=108^{\circ}$或$117^{\circ}$或$144^{\circ}$或$148^{\circ}$.
故答案为：$108^{\circ}$或$117^{\circ}$或$144^{\circ}$或$148^{\circ}$.