D

设直角三角形的两条直角边为：$a$、$b$，斜边为$c$，
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
$\because$正方形的边长为$1$，
$\therefore a^{2}+b^{2}=1$，
由图$1$可知，“生长”$1$次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，
$\therefore$此时，所有正方形的面积和为：$2\times 1=2$，
由图$2$可知，“生长”$2$次后，所有正方形的面积和为：$3\times 1=3$，
$\ldots \ldots$
$\therefore$在“生长”了$2024$次后形成的图形中所有正方形的面积和是：$2025\times 1=2025$.
故选：$D$.