C

根据题意得：$AB=\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{10}$，$AC=\sqrt{2}$，$BC=2$，
$\therefore AC:BC:AB=\sqrt{2}$：$2$：$\sqrt{10}=1$：$\sqrt{2}$：$\sqrt{5}$，
$A$、三边之比为$1$：$\sqrt{5}$：$2\sqrt{2}$，图中的三角形（阴影部分）与$\triangle ABC$不相似；
$B$、三边之比为$\sqrt{2}$：$\sqrt{5}$：$3$，图中的三角形（阴影部分）与$\triangle ABC$不相似；
$C$、三边之比为$1$：$\sqrt{2}$：$\sqrt{5}$，图中的三角形（阴影部分）与$\triangle ABC$相似；
$D$、三边之比为$2$：$\sqrt{5}$：$\sqrt{13}$，图中的三角形（阴影部分）与$\triangle ABC$不相似.
故选：$C$.