$(1)$证明：$\because BE$、$CF$是$\triangle ABC$的两条高，
$\therefore \angle BFC=\angle BEC=90^{\circ}$，
$\because P$是$BC$边的中点，
$\therefore BP=FP=\frac{1}{2}BC$，$CP=EP=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore PE=PF$；
$(2)$$\because \angle A=70^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A=110^{\circ}$，
由（1）得：
$PE=PF$，$EP=CP$，
$\therefore \angle ABC=\angle BFP$，$\angle ACB=\angle CEP$，
$\therefore \angle BFP+\angle CEP=\angle ABC+\angle ACB=110^{\circ}$，
$\therefore \angle FPB+\angle EPC=360^{\circ}-\left(\angle ABC+\angle ACB+\angle BFP+\angle CEP\right)=140^{\circ}$，
$\therefore \angle EPF=180^{\circ}-\left(\angle FPB+\angle EPC\right)=40^{\circ}$，
$\therefore \angle EPF$的度数为$40^{\circ}$.

$(1)$证明：$\because BE$、$CF$是$\triangle ABC$的两条高，
$\therefore \angle BFC=\angle BEC=90^{\circ}$，
$\because P$是$BC$边的中点，
$\therefore BP=FP=\frac{1}{2}BC$，$CP=EP=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore PE=PF$；
$(2)$$\because \angle A=70^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A=110^{\circ}$，
由（1）得：
$PE=PF$，$EP=CP$，
$\therefore \angle ABC=\angle BFP$，$\angle ACB=\angle CEP$，
$\therefore \angle BFP+\angle CEP=\angle ABC+\angle ACB=110^{\circ}$，
$\therefore \angle FPB+\angle EPC=360^{\circ}-\left(\angle ABC+\angle ACB+\angle BFP+\angle CEP\right)=140^{\circ}$，
$\therefore \angle EPF=180^{\circ}-\left(\angle FPB+\angle EPC\right)=40^{\circ}$，
$\therefore \angle EPF$的度数为$40^{\circ}$.