①$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$，故①正确；
②若$DQ=CM$，则有$\triangle CQD$≌$\triangle BMC$，推出$BC=DC$，与已知矛盾，故②错误；
③$AE$∥$CF$，$DP\bot AF$，$BM\bot CE$，四个角都是直角，是矩形，故③正确；
④$\because \angle ADP+\angle PDC=90^{\circ}$，$\angle DCE+\angle PDC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADP=\angle DCQ$，
在矩形$ABCD$中$,AD=BC,AD$∥$BC$，
又$\because AF$∥$CE$，
$\therefore$四边形$AECF$是平行四边形，
$\therefore \angle DAP=\angle BCM$，
$\because \angle APD=\angle CMB$，
$\therefore \triangle APD$≌$\triangle CMB\left(AAS\right)$，
$\therefore AP=CM$，
如图，设$PQ$、$MN$分别交$AC$于点$J$、$K$，

$\because AF$∥$CE$，
$\therefore \angle PAJ=\angle MCK$，
又$\because \angle APD=\angle CMB$，
$\therefore \triangle APJ$≌$\triangle CMK\left(ASA\right)$，
$\therefore PJ=MK$，
$\because$四边形$PQMN$是矩形，
$\therefore PQ=MN$，$PN=QM$，
$\therefore AC$平分四边形$PQMN$的周长，
故④正确；
正确的序号为①③④.
故答案为：①③④.

①$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$，故①正确；
②若$DQ=CM$，则有$\triangle CQD$≌$\triangle BMC$，推出$BC=DC$，与已知矛盾，故②错误；
③$AE$∥$CF$，$DP\bot AF$，$BM\bot CE$，四个角都是直角，是矩形，故③正确；
④$\because \angle ADP+\angle PDC=90^{\circ}$，$\angle DCE+\angle PDC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADP=\angle DCQ$，
在矩形$ABCD$中$,AD=BC,AD$∥$BC$，
又$\because AF$∥$CE$，
$\therefore$四边形$AECF$是平行四边形，
$\therefore \angle DAP=\angle BCM$，
$\because \angle APD=\angle CMB$，
$\therefore \triangle APD$≌$\triangle CMB\left(AAS\right)$，
$\therefore AP=CM$，
如图，设$PQ$、$MN$分别交$AC$于点$J$、$K$，

$\because AF$∥$CE$，
$\therefore \angle PAJ=\angle MCK$，
又$\because \angle APD=\angle CMB$，
$\therefore \triangle APJ$≌$\triangle CMK\left(ASA\right)$，
$\therefore PJ=MK$，
$\because$四边形$PQMN$是矩形，
$\therefore PQ=MN$，$PN=QM$，
$\therefore AC$平分四边形$PQMN$的周长，
故④正确；
正确的序号为①③④.
故答案为：①③④.