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八年级数学填空题一般
题目
我们新定义一种三角形:若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方,则称这个三角形为勾股高三角形,两边交点为勾股顶点.

●特例感知
①等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写"是"或者"不是"）；
②如图11,已知△ABC\triangle ABC为勾股高三角形,其中CC为勾股顶点,CDCD是ABAB边上的高.若BD=2AD=2BD=2AD=2,试求线段CDCD的长度.
●深入探究
如图22,已知△ABC\triangle ABC为勾股高三角形,其中CC为勾股顶点且CA>CBCA \gt CB,CDCD是ABAB边上的高.试探究线段ADAD与CBCB的数量关系,并给予证明；
●推广应用
如图33,等腰△ABC\triangle ABC为勾股高三角形,其中AB=AC>BCAB=AC \gt BC,CDCD为ABAB边上的高,过点DD向BCBC边引平行线与ACAC边交于点EE.若CE=aCE=a,试求线段DEDE的长度.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

●特例感知：
①等腰直角三角形是勾股高三角形.
故答案为：是.
②如图11中，根据勾股定理可得：CB2=CD2+4CB^{2}=CD^{2}+4，CA2=CD2+1CA^{2}=CD^{2}+1，
于是CD2=(CD2+4)−(CD2+1)=3CD^{2}=(CD^{2}+4)-(CD^{2}+1)=3，
∴CD=3\therefore CD=\sqrt{3}.

●深入探究：
如图22中，由CA2−CB2=CD2CA^{2}-CB^{2}=CD^{2}可得：CA2−CD2=CB2CA^{2}-CD^{2}=CB^{2}，而CA2−CD2=AD2CA^{2}-CD^{2}=AD^{2}，
∴AD2=CB2\therefore AD^{2}=CB^{2}，
即AD=CBAD=CB；

●推广应用：
过点AA向EDED引垂线，垂足为GG，
∵\because“勾股高三角形”△ABC\triangle ABC为等腰三角形，且AB=AC>BCAB=AC \gt BC，
∴\therefore只能是AC2−BC2=CD2AC^{2}-BC^{2}=CD^{2}，由上问可知AD=BC……AD=BC\ldots \ldots①.
又EDED∥BCBC，∴∠1=∠B……\therefore \angle 1=\angle B\ldots \ldots②.
而∠AGD=∠CDB=90∘……\angle AGD=\angle CDB=90^{\circ}\ldots \ldots③，
∴△AGD\therefore \triangle AGD≌△CDB(AAS)\triangle CDB\left(AAS\right)，
∴DG=BD\therefore DG=BD.
易知△ADE\triangle ADE与△ABC\triangle ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知ED=2DG=2BDED=2DG=2BD.
又AB=ACAB=AC，AD=AEAD=AE，
∴BD=EC=a\therefore BD=EC=a，
∴ED=2a\therefore ED=2a.

解析

●特例感知：
①等腰直角三角形是勾股高三角形.
故答案为：是.
②如图11中，根据勾股定理可得：CB2=CD2+4CB^{2}=CD^{2}+4，CA2=CD2+1CA^{2}=CD^{2}+1，
于是CD2=(CD2+4)−(CD2+1)=3CD^{2}=(CD^{2}+4)-(CD^{2}+1)=3，
∴CD=3\therefore CD=\sqrt{3}.

●深入探究：
如图22中，由CA2−CB2=CD2CA^{2}-CB^{2}=CD^{2}可得：CA2−CD2=CB2CA^{2}-CD^{2}=CB^{2}，而CA2−CD2=AD2CA^{2}-CD^{2}=AD^{2}，
∴AD2=CB2\therefore AD^{2}=CB^{2}，
即AD=CBAD=CB；

●推广应用：
过点AA向EDED引垂线，垂足为GG，
∵\because“勾股高三角形”△ABC\triangle ABC为等腰三角形，且AB=AC>BCAB=AC \gt BC，
∴\therefore只能是AC2−BC2=CD2AC^{2}-BC^{2}=CD^{2}，由上问可知AD=BC……AD=BC\ldots \ldots①.
又EDED∥BCBC，∴∠1=∠B……\therefore \angle 1=\angle B\ldots \ldots②.
而∠AGD=∠CDB=90∘……\angle AGD=\angle CDB=90^{\circ}\ldots \ldots③，
∴△AGD\therefore \triangle AGD≌△CDB(AAS)\triangle CDB\left(AAS\right)，
∴DG=BD\therefore DG=BD.
易知△ADE\triangle ADE与△ABC\triangle ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知ED=2DG=2BDED=2DG=2BD.
又AB=ACAB=AC，AD=AEAD=AE，
∴BD=EC=a\therefore BD=EC=a，
∴ED=2a\therefore ED=2a.

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