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八年级数学解答题一般
题目
如图,在△ABC\triangle ABC中,∠BAC>90∘\angle BAC \gt 90^{\circ},ABAB的垂直平分线分别交ABAB,BCBC于点EE,FF,ACAC的垂直平分线分别交ACAC,BCBC于点MM,NN,直线EFEF,MNMN交于点PP.
(1)(1)求证:点PP在线段BCBC的垂直平分线上；
(2)(2)已知∠FAN=56∘\angle FAN=56^{\circ},求∠FPN\angle FPN的度数.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)证明：如图所示：连接BPBP，APAP，PCPC，
∵PE⊥AB\because PE\bot AB，PM⊥ACPM\bot AC，
∴PA=PB\therefore PA=PB，PA=PCPA=PC，
∴PB=PC\therefore PB=PC，
∴\therefore点PP在线段BCBC的垂直平分线上；
(2)(2)∵PE⊥AB\because PE\bot AB，PM⊥ACPM\bot AC，
∴FA=FB\therefore FA=FB，NA=NCNA=NC，∠AEP=∠AMP=∠BEF=∠CMN=90∘\angle AEP=\angle AMP=\angle BEF=\angle CMN=90^{\circ}，
∴∠B+∠BFE=∠C+∠MNC=90∘\therefore \angle B+\angle BFE=\angle C+\angle MNC=90^{\circ}，
设∠B=x\angle B=x，∠C=y\angle C=y，
∴∠B=∠BAF=x\therefore \angle B=\angle BAF=x，∠C=∠CAN=y\angle C=\angle CAN=y，∠BFE=90∘−x\angle BFE=90^{\circ}-x，∠MNC=90∘−y\angle MNC=90^{\circ}-y，
∴∠PFN=∠BFE=90∘−x\therefore \angle PFN=\angle BFE=90^{\circ}-x，∠PNF=∠MNC=90∘−y\angle PNF=\angle MNC=90^{\circ}-y，
∵∠B+∠C+∠CAB=180∘\because \angle B+\angle C+\angle CAB=180^{\circ}，∠FAN=56∘\angle FAN=56^{\circ}
∴2x+2y+56∘=180∘\therefore 2x+2y+56^{\circ}=180^{\circ}，
2(x+y)=124∘2\left(x+y\right)=124^{\circ}，
x+y=62∘x+y=62^{\circ}，
∵∠PFN+∠PNF+∠FPN=180∘\because \angle PFN+\angle PNF+\angle FPN=180^{\circ}，
∴90∘−x+90∘−y+∠FPN=180∘\therefore 90^{\circ}-x+90^{\circ}-y+\angle FPN=180^{\circ}，
∴∠FPN=180∘−180∘+(x+y)=62∘\therefore \angle FPN=180^{\circ}-180^{\circ}+\left(x+y\right)=62^{\circ}.

解析

(1)(1)证明：如图所示：连接BPBP，APAP，PCPC，
∵PE⊥AB\because PE\bot AB，PM⊥ACPM\bot AC，
∴PA=PB\therefore PA=PB，PA=PCPA=PC，
∴PB=PC\therefore PB=PC，
∴\therefore点PP在线段BCBC的垂直平分线上；
(2)(2)∵PE⊥AB\because PE\bot AB，PM⊥ACPM\bot AC，
∴FA=FB\therefore FA=FB，NA=NCNA=NC，∠AEP=∠AMP=∠BEF=∠CMN=90∘\angle AEP=\angle AMP=\angle BEF=\angle CMN=90^{\circ}，
∴∠B+∠BFE=∠C+∠MNC=90∘\therefore \angle B+\angle BFE=\angle C+\angle MNC=90^{\circ}，
设∠B=x\angle B=x，∠C=y\angle C=y，
∴∠B=∠BAF=x\therefore \angle B=\angle BAF=x，∠C=∠CAN=y\angle C=\angle CAN=y，∠BFE=90∘−x\angle BFE=90^{\circ}-x，∠MNC=90∘−y\angle MNC=90^{\circ}-y，
∴∠PFN=∠BFE=90∘−x\therefore \angle PFN=\angle BFE=90^{\circ}-x，∠PNF=∠MNC=90∘−y\angle PNF=\angle MNC=90^{\circ}-y，
∵∠B+∠C+∠CAB=180∘\because \angle B+\angle C+\angle CAB=180^{\circ}，∠FAN=56∘\angle FAN=56^{\circ}
∴2x+2y+56∘=180∘\therefore 2x+2y+56^{\circ}=180^{\circ}，
2(x+y)=124∘2\left(x+y\right)=124^{\circ}，
x+y=62∘x+y=62^{\circ}，
∵∠PFN+∠PNF+∠FPN=180∘\because \angle PFN+\angle PNF+\angle FPN=180^{\circ}，
∴90∘−x+90∘−y+∠FPN=180∘\therefore 90^{\circ}-x+90^{\circ}-y+\angle FPN=180^{\circ}，
∴∠FPN=180∘−180∘+(x+y)=62∘\therefore \angle FPN=180^{\circ}-180^{\circ}+\left(x+y\right)=62^{\circ}.

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