如图$1$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AD=CD$.
$(1)$求证:点$D$是$BC$的中点；
$(2)$在图$2$中,点$E$、$F$分别为线段$CD$和$AD$上的点,$DE=DF$,连接$EF$并延长交$AB$于点$H$,点$L$、$M$分别在线段$BH$、$BD$上,连接$ML$,当$\angle BLM=\angle DFE$时,试判断$LM$与$BC$的位置关系并说明理由；
$(3)$在（2）的条件下,过点$M$作$MS$∥$AB$,连接$EL$交$AD$于点$N$,在$CB$的延长线上有一点$R$,连接$SR$,点$T$是$SR$的中点,连接$MT$,$AR=2MT$,$\angle SMT=\angle ARB$,$BM=1$,$MS=3$,若$AH=LH$,$DE=BL$.求$DN$的长.