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八年级数学解答题一般
题目
如图11,在Rt△ABCRt\triangle ABC中,∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ},AD=CDAD=CD.
(1)(1)求证:点DD是BCBC的中点；
(2)(2)在图22中,点EE、FF分别为线段CDCD和ADAD上的点,DE=DFDE=DF,连接EFEF并延长交ABAB于点HH,点LL、MM分别在线段BHBH、BDBD上,连接MLML,当∠BLM=∠DFE\angle BLM=\angle DFE时,试判断LMLM与BCBC的位置关系并说明理由；
(3)(3)在（2）的条件下,过点MM作MSMS∥ABAB,连接ELEL交ADAD于点NN,在CBCB的延长线上有一点RR,连接SRSR,点TT是SRSR的中点,连接MTMT,AR=2MTAR=2MT,∠SMT=∠ARB\angle SMT=\angle ARB,BM=1BM=1,MS=3MS=3,若AH=LHAH=LH,DE=BLDE=BL.求DNDN的长.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵AD=CD\because AD=CD，
∴∠C=∠DAC\therefore \angle C=\angle DAC，
∵∠BAC=90∘\because \angle BAC=90^{\circ}，
∴∠C+∠B=90∘\therefore \angle C+\angle B=90^{\circ}，∠DAC+∠BAD=90∘\angle DAC+\angle BAD=90^{\circ}，
∴∠B=∠DAB\therefore \angle B=\angle DAB，
∴AD=BD\therefore AD=BD，
∴CD=BD\therefore CD=BD，
∴\therefore点DD是BCBC的中点；
(2)(2)LM⊥BCLM\bot BC，理由如下：
∵DE=DF\because DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE\therefore \angle DEF=\angle DFE，
由（1）知，
∠C=∠DAC\angle C=\angle DAC，∠C+∠B=90∘\angle C+\angle B=90^{\circ}，
∵∠EDF=∠ADC\because \angle EDF=\angle ADC，
∴∠DFE=∠C\therefore \angle DFE=\angle C，
∵∠BLM=∠DFE\because \angle BLM=\angle DFE，
∴∠BLM=∠C\therefore \angle BLM=\angle C，
∴∠BLM+∠B=90∘\therefore \angle BLM+\angle B=90^{\circ}，
∴∠BML=90∘\therefore \angle BML=90^{\circ}，
∴LM⊥BC\therefore LM\bot BC；
(3)(3)如图，

延长MTMT至WW，是WT=MTWT=MT，连接SWSW，作DV⊥EHDV\bot EH于VV，作DR⊥ABDR\bot AB于RR，
∴MW=2MT\therefore MW=2MT，
∵AR=2MT\because AR=2MT，
∴AR=MW\therefore AR=MW，
∵\because点TT是SRSR的中点，
∴ST=RT\therefore ST=RT，
∵∠MTR=∠STW\because \angle MTR=\angle STW，
∴△STW\therefore \triangle STW≌△RTM(SAS)\triangle RTM\left(SAS\right)，
∴∠W=∠RMW\therefore \angle W=\angle RMW，SW=MRSW=MR，
∴SW\therefore SW∥MRMR，
∴∠MSW+∠SMR=180∘\therefore \angle MSW+\angle SMR=180^{\circ}，
∵MS\because MS∥ABAB，
∴∠SMR=∠ABC\therefore \angle SMR=\angle ABC，
∵∠ABC+∠ABR=180∘\because \angle ABC+\angle ABR=180^{\circ}，
∴∠SMR+∠ABR=180∘\therefore \angle SMR+\angle ABR=180^{\circ}，
∴∠MSW=∠ABR\therefore \angle MSW=\angle ABR，
∴△ABR\therefore \triangle ABR≌△WSM(AAS)\triangle WSM\left(AAS\right)，
∴BR=SM=3\therefore BR=SM=3，AB=SWAB=SW，
∴MR=BM+BR=1+3=4\therefore MR=BM+BR=1+3=4，
∴AB=SW=MR=4\therefore AB=SW=MR=4，
∵AD=BD\because AD=BD，DR⊥ABDR\bot AB，
∴AR=BR=12AB=2\therefore AR=BR=\frac{1}{2}AB=2，
∵∠DVE=∠BML=90∘\because \angle DVE=\angle BML=90^{\circ}，∠BLM=∠C=∠DEF\angle BLM=\angle C=\angle DEF，DE=BLDE=BL，
∴△DEV\therefore \triangle DEV≌△BLM(AAS)\triangle BLM\left(AAS\right)，
∴DV=BM=1\therefore DV=BM=1，
∴HR=DV=1\therefore HR=DV=1，
∴AH=AR−HR=2−1=1\therefore AH=AR-HR=2-1=1，
∴AH=HR\therefore AH=HR，
∵AH=LH\because AH=LH，
∴\therefore点RR和LL重合，
∴DE=BL=2\therefore DE=BL=2，
∵∠DVE=90∘\because \angle DVE=90^{\circ}，DV=1DV=1，DE=2DE=2，
∴VE=3\therefore VE=\sqrt{3}，∠DEV=30∘\angle DEV=30^{\circ}，
∴∠BDL=∠DEV=30∘\therefore \angle BDL=\angle DEV=30^{\circ}，
∴DL=3BL=23\therefore DL=\sqrt{3}BL=2\sqrt{3}，
∵DE=DF\because DE=DF，
∴EF=2VE=23\therefore EF=2VE=2\sqrt{3}，
∴EF=DL\therefore EF=DL，
∵EH\because EH∥DLDL，
∴∠DLN=∠FEN\therefore \angle DLN=\angle FEN，∠EFN=∠LDN\angle EFN=\angle LDN，
∴△DNL\therefore \triangle DNL≌△FNE(ASA)\triangle FNE\left(ASA\right)，
∴DN=FN=12DF=1\therefore DN=FN=\frac{1}{2}DF=1.

解析

(1)(1)证明：∵AD=CD\because AD=CD，
∴∠C=∠DAC\therefore \angle C=\angle DAC，
∵∠BAC=90∘\because \angle BAC=90^{\circ}，
∴∠C+∠B=90∘\therefore \angle C+\angle B=90^{\circ}，∠DAC+∠BAD=90∘\angle DAC+\angle BAD=90^{\circ}，
∴∠B=∠DAB\therefore \angle B=\angle DAB，
∴AD=BD\therefore AD=BD，
∴CD=BD\therefore CD=BD，
∴\therefore点DD是BCBC的中点；
(2)(2)LM⊥BCLM\bot BC，理由如下：
∵DE=DF\because DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE\therefore \angle DEF=\angle DFE，
由（1）知，
∠C=∠DAC\angle C=\angle DAC，∠C+∠B=90∘\angle C+\angle B=90^{\circ}，
∵∠EDF=∠ADC\because \angle EDF=\angle ADC，
∴∠DFE=∠C\therefore \angle DFE=\angle C，
∵∠BLM=∠DFE\because \angle BLM=\angle DFE，
∴∠BLM=∠C\therefore \angle BLM=\angle C，
∴∠BLM+∠B=90∘\therefore \angle BLM+\angle B=90^{\circ}，
∴∠BML=90∘\therefore \angle BML=90^{\circ}，
∴LM⊥BC\therefore LM\bot BC；
(3)(3)如图，

延长MTMT至WW，是WT=MTWT=MT，连接SWSW，作DV⊥EHDV\bot EH于VV，作DR⊥ABDR\bot AB于RR，
∴MW=2MT\therefore MW=2MT，
∵AR=2MT\because AR=2MT，
∴AR=MW\therefore AR=MW，
∵\because点TT是SRSR的中点，
∴ST=RT\therefore ST=RT，
∵∠MTR=∠STW\because \angle MTR=\angle STW，
∴△STW\therefore \triangle STW≌△RTM(SAS)\triangle RTM\left(SAS\right)，
∴∠W=∠RMW\therefore \angle W=\angle RMW，SW=MRSW=MR，
∴SW\therefore SW∥MRMR，
∴∠MSW+∠SMR=180∘\therefore \angle MSW+\angle SMR=180^{\circ}，
∵MS\because MS∥ABAB，
∴∠SMR=∠ABC\therefore \angle SMR=\angle ABC，
∵∠ABC+∠ABR=180∘\because \angle ABC+\angle ABR=180^{\circ}，
∴∠SMR+∠ABR=180∘\therefore \angle SMR+\angle ABR=180^{\circ}，
∴∠MSW=∠ABR\therefore \angle MSW=\angle ABR，
∴△ABR\therefore \triangle ABR≌△WSM(AAS)\triangle WSM\left(AAS\right)，
∴BR=SM=3\therefore BR=SM=3，AB=SWAB=SW，
∴MR=BM+BR=1+3=4\therefore MR=BM+BR=1+3=4，
∴AB=SW=MR=4\therefore AB=SW=MR=4，
∵AD=BD\because AD=BD，DR⊥ABDR\bot AB，
∴AR=BR=12AB=2\therefore AR=BR=\frac{1}{2}AB=2，
∵∠DVE=∠BML=90∘\because \angle DVE=\angle BML=90^{\circ}，∠BLM=∠C=∠DEF\angle BLM=\angle C=\angle DEF，DE=BLDE=BL，
∴△DEV\therefore \triangle DEV≌△BLM(AAS)\triangle BLM\left(AAS\right)，
∴DV=BM=1\therefore DV=BM=1，
∴HR=DV=1\therefore HR=DV=1，
∴AH=AR−HR=2−1=1\therefore AH=AR-HR=2-1=1，
∴AH=HR\therefore AH=HR，
∵AH=LH\because AH=LH，
∴\therefore点RR和LL重合，
∴DE=BL=2\therefore DE=BL=2，
∵∠DVE=90∘\because \angle DVE=90^{\circ}，DV=1DV=1，DE=2DE=2，
∴VE=3\therefore VE=\sqrt{3}，∠DEV=30∘\angle DEV=30^{\circ}，
∴∠BDL=∠DEV=30∘\therefore \angle BDL=\angle DEV=30^{\circ}，
∴DL=3BL=23\therefore DL=\sqrt{3}BL=2\sqrt{3}，
∵DE=DF\because DE=DF，
∴EF=2VE=23\therefore EF=2VE=2\sqrt{3}，
∴EF=DL\therefore EF=DL，
∵EH\because EH∥DLDL，
∴∠DLN=∠FEN\therefore \angle DLN=\angle FEN，∠EFN=∠LDN\angle EFN=\angle LDN，
∴△DNL\therefore \triangle DNL≌△FNE(ASA)\triangle FNE\left(ASA\right)，
∴DN=FN=12DF=1\therefore DN=FN=\frac{1}{2}DF=1.

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